Реферат на тему:

Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь

-го порядку має вигляд

.

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то
воно має вигляд

.

, що задовольняє початковим даним

,

.

задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.

, що задовольняє початковим умовам

.

задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

;

.

, що задовольняє початковим умовам

.

можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та
єдиності розв’язків.

2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в
квадратурах.

1) Рівняння вигляду

.

-раз одержимо загальний розв’язок у вигляді

.

Якщо задані умови Коші

,

то розв’язок має вигляд

2) Рівняння вигляду

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

, одержимо

.

Проінтегрувавши його, маємо

.

-порядку

-раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді

3) Рівняння вигляду

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

, одержуємо

. Проінтегрувавши, маємо

.

-порядку

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо

-раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді

4) Нехай рівняння вигляду

можна розв’язати відносно старшої похідної

.

й одержимо

.

Перепишемо його у вигляді

.

Проінтегрувавши, маємо

,

,

або

.

-порядку

і повернулися до третього випадку.

3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях
вищих порядків

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що
допускають зниження порядку.

-порядку включно

.

,

.

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної

.

. Тоді

-порядку.

диференціального рівняння

.

— нова невідома функція. Одержимо

Після підстановки одержимо

.

, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо

-порядку.

4) Нехай ліва частина рівняння

, тобто

.

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл

.

5) Нехай диференціальне рівняння

,

розписано у вигляді диференціалів

— нові змінні. Тоді одержуємо

,

Підставивши, одержимо

.

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної
змінної, або повертаємося до другого випадку.

Похожие записи