Реферат на тему:

Натуральні числа. Ділення з остачею Подільність натуральних чисел.

Взаємно-прості та прості числа. НСК ТА НСД

Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними.
Зображають їх символами

0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Множину натуральних чисел, упорядкованих у строго визначеній
послідовності, називають натуральним рядом чисел, або скорочено
натуральним рядом.

Те з двох натуральних чисел, яке в натуральному ряді стоїть ближче до 1
(тобто яке при лічбі з’являється раніше), називається меншим, друге —
більшим. Отже, у натуральному ряді кожне число, крім 1, більше за
попереднє; 1 — найменше натуральне число, але найбільшого натурального
числа не існує.

.

Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр знаків
— 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а
цифри 1, 3, 5, 7, 9 — непарними. Значення цифри в запису числа залежить
від місця, яке вона займає, тобто від її позиції. Наприклад, у запису
333 перша ліворуч трійка позначає три сотні, друга — три десятки, третя
— три одиниці. З огляду на це зазначену систему запису чисел називають
десятковою системою числення.

Щоб прочитати число, записане в десятковій системі, його позначення
справа наліво розбивають на групи, по три цифри в кожній. Перші три
цифри праворуч (одиниці, десятки і сотні) утворюють клас одиниць, три
наступні (одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч) — клас тисяч, далі
йдуть клас мільйонів, клас мільярдів і т. ін.

Розширимо ряд натуральних чисел, приєднавши до нього число 0. Нуль
вважається числом, що передує всім натуральним числам. Ряд натуральних
чисел з числом 0 позначають N0.

Із натуральними числами можна виконувати арифметичні дії: додавання,
віднімання, множення та ділення.

Додавання натуральних чисел підпорядковане переставному (комутативному)
та сполучному (асоціативному) законам, що виражаються відповідними
рівностями:

. Ці рівності означають таке: 1) від переставлення доданків значення
суми не змінюється; 2) щоб до суми двох чисел додати третє число,
достатньо до першого числа додати суму другого та третього.

називається множенням.

відповідно рівностями:

Ці рівності означають таке: 1) від зміни місць множників значення
добутку не змінюється; 2) щоб добуток двох чисел помножити на третє
число, достатньо помножити перше з них на добуток другого і третього.

у десятковій системі числення можна розкласти за розрядами, тобто
подати у вигляді суми розрядних доданків (одиниць, десятків, сотень,
тисяч і т. д.):

— цифри десятків і т. д.

Наприклад,

Розкладання числа на розряди використовують для обґрунтування правил
додавання, віднімання і множення багатоцифрових чисел; при цьому
використовують основні властивості цих дій.

Цим пояснюється правило додавання натуральних чисел «стовпчиком»:

. Це можна записати так

).

на нуль не можна! Не можна ділити і 0 на 0!

1.2. Цілі числа

Натуральні числа можна зображувати точками на прямій лінії. Щоб
визначити положення точки на прямій відносно деякої фіксованої точки О
(початок відліку), недостатньо знати її відстань від точки О, необхідно
ще вказати, по який бік від початку відліку вона міститься. Здебільшого
таку пряму розміщують горизонтально і при цьому напрям праворуч від
точки О вважають додатним, а ліворуч — від’ємним. Додатний напрям на
прямій позначають стрілкою. Звичайно замість того, щоб писати слова
«праворуч» і «ліворуч», записують по один бік від точки О числа 1, 2, 3,
…, а по другий її бік — числа зі знаком «мінус»: –1, –2, –3, … (див.
рисунок). Числа 1, 2, 3, … називають додатними, числа –1, –2, –3 —
від’ємними. Число 0 відокремлює на прямій додатні числа від від’ємних.
Його позначають як точку О — початок відліку. Саме число 0 не є ані
додатним, ані від’ємним. Усі цілі додатні числа і число 0 називаються
невід’ємними числа.

Число, що задає положення точки на прямій, називають координатою цієї
точки. Пряму лінію з вибраним на ній початком відліку, одиничним
відрізком і додатним напрямом називають координатною прямою.

Точки з координатами 5 і –5 (див. рисунок) однаково віддалені від точки
О, містяться по різні боки від неї і симетричні відносно цієї точки. Щоб
потрапити з точки О в ці точки, потрібно відкласти від точки О відрізки
завдовжки 5 одиниць у протилежних напрямах. Унаслідок цього числа 5 і –5
називаються протилежними. Для кожного числа існує одне протилежне йому
число. Число 0 протилежне саме собі. Два протилежні числа зображуються
на координатній прямій точками, симетричними відносно початку відліку.

що визначається за формулою:

).

Арифметичні дії з цілими числами виконуються за правилами, наведеними
далі.

1. Щоб додати два від’ємних числа, потрібно додати їхні модулі і перед
здобутим числом поставити знак «мінус». Наприклад, (–17) + (–8) = –(17 +
8) = –25.

2. Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля
відняти менший і поставити перед здобутим числом знак того доданка,
модуль якого більший.

»

- 2 @ ? >

@

f

j

j

j

Різниця двох чисел додатна, якщо зменшуване більше за від’ємник, і
від’ємна, якщо зменшуване менше за від’ємник. Різниця дорівнює нулю,
якщо зменшуване і від’ємник рівні між собою.

При діленні нуля на будь-яке число, що не дорівнює нулю, дістаємо нуль.

Ділення з остачею

Ділення одного натурального числа на інше ціле не завжди виконується.
Тому розглядають більш загальну дію — ділення з остачею.

Ділення з остачею завжди виконується, про що свідчить наведена далі
теорема (теорема про ділення з остачею).

, таких що

Подільність натуральних чисел

, якщо

5 і 3 — дільники числа 15.

нескінченна.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на певне число, то їхня сума також
ділиться на це число.

Наслідок. Якщо сума двох доданків і одне з них діляться на деяке число,
то й інший доданок ділиться на це число.

Зауваження. Не слід думати, що коли кожний доданок суми не ділиться на
деяке число, то й сума не ділиться на це число. Наприклад, сума 23 + 13
ділиться на 6, хоча жодний із доданків не ділиться на це число.

Теорема. Якщо зменшуване і від’ємник діляться на деяке число, то і
різниця поділиться на це число.

Теорема. Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на деяке число, а
той один на нього не ділиться, то й сума не поділиться на це число.

Теорема. Якщо хоча б один із множників ділиться на дане число, то їхній
добуток також ділиться на це число.

Зауваження. Умова теореми є достатньою, але не необхідною для
подільності добутку на число. Наприклад, добуток 14(27 ділиться на 21,
хоча ні 14, ні 27 на 21 не ділиться.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться на добуток двох натуральних
чисел, то воно поділиться на кожне з цих чисел окремо.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться окремо на два натуральних
числа b і с, причому b і с не мають спільних дільників, крім одиниці, то
а ділиться на добуток bс.

Взаємно-прості та прості числа. НСК ТА НСД.

Ознаки подільності натуральних чисел

Взаємно прості та прості числа

називається простим, якщо воно має рівно два натуральні дільники.

Якщо прості числа виписувати в ланцюжок за зростанням, то його початок
буде такий: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … .

, у яких найбільший спільний дільник дорівнює 1.

.

Властивості:

.

Теорема. Існує безліч простих чисел.

— різні прості числа, то вони взаємно прості.

Теорема. (Основна теорема арифметики). Будь-яке натуральне число, крім
одиниці, може бути єдиним способом подане у вигляді добутку простих
чисел (якщо не враховувати порядок розміщення множників).

Нехай складене число а розкладено в добуток простих чисел, серед яких
можуть бути й рівні між собою. Записуючи добуток однакових множників у
вигляді степеня, дістаємо

— деякі цілі додатні числа, що дорівнюють кількості повторів простих
дільників у розкладі числа а. Наведену рівність називають канонічним
розкладом натурального числа а на прості множники.

Розкладаючи натуральні числа на прості множники, використовують ознаки
подільності. Множники звичайно записують у порядку їх зростання праворуч
від вертикальної риски. Наведемо приклади таких розладів:

Таким чином, 190 = 2 ( 5 ( 19, 210 = 2 ( 3 ( 5 ( 7, 360 = 23 ( 32 ( 5.

Теорема. Якщо k — спільне кратне чисел а і b, m — їхнє найменше спільне
кратне, то k ділиться на m.

Теорема. Найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює
їхньому добутку.

Наслідок. Для того щоб число а ділилось на кожне з взаємно простих чисел
b і с, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на їхній добуток.

Теорема. Для того щоб числа а і b були взаємно простими, необхідно і
достатньо, щоб жодний з простих множників, що входять до складу
канонічного розкладу числа а, не входив у канонічний розклад числа b.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

–4

х

1

2

3

4

–5

5

–3

–2

–1

0

Похожие записи