Курсова робота

на тему:

Напівпрості і прості кільця

Зміст:

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3

Поняття кільця. Приклади кілець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Умови, які визначають напівпростоту . . . . . . . . . . . . . . . .6

Теорема щільності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 9

Напівпрості кільця. Структура напівпростих кілець . . . 13

Прості кільця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 24

Поняття про модуль. Збалансовані модулі. . . . . . . . . . . .29

Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.Вступ.

Математика в самому загальному смислі слова має справу з визначенням і
використанням символічних моделей. Математична модель охоплює клас
невизначених(абстрактних, символічних) математичних об’єктів і
відношення між цими об’єктами .

Математична модель буде відтворювати відповідним чином вибрані сторони
фізичної ситуації, якщо можна встановити правила відповідності, що
зв’язують специфічні фізичні об’єкти і відношення з визначеними
математичними об’єктами і відношеннями.

Визначальні властивості математичних моделей представляють собою більше
чи менше безпосередні абстракції фізичних процесів.

Напівпрості і прості кільця являються алгеброю моделей з двома
визначальними операціями. В даній курсовій роботі розглянемо, що собою
являють напівпрості і прості кільця.

Непорожня множина K, на якій визначено операції додавання і множення,
називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

множина K є адитивною абелевою групою;

множина K є мультиплікативною півгрупою;

операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.

Позначається кільце так (K, +, *).

0 і R напівпростий як лівий модуль над собою.

Кільце R називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас
простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

Поняття кільця. Приклади кілець.

Означення2.1: непорожня множина K, на якій визначено операції додавання
і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

множина K є адитивною абелевою групою;

множина K є мультиплікативною півгрупою;

операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.

Позначається кільце так (K, +, *).

Група є адитивною відносно операції додавання. Відносно операції
множення група є мультиплікативною.

Означення2.2: кільце, в якому для будь-якого ненульового елемента a
існує обернений називається тілом.

Означення2.3: тіло, в якому операція множення комутативна, називається
полем.

Означення2.4: якщо операція множення, визначена в групі, є комутативною,
то група називається комутативною або абелевою.

.

Приклади кілець:

Множина Z цілих чисел.

Множина Q раціональних чисел.

Множина R дійсних чисел.

Множина C комплексних чисел.

Нульове кільце, яке містить лише елемент 0.

Множина парних чисел і взагалі множина цілих чисел, які кратні деякому
числу m.

Множина цілих комплексних чисел, тобто чисел a+bi, де a та b цілі
числа.

Z, а k- натуральне число, яке не є повним квадратом. Множина
натуральних чисел, а також множина додатніх раціональних чисел кільцями
не є, так як для елементів цих множин нема протилежних, в цих множинах
немає також нульового елемента.

Всі многочлени з одним чи кількома змінними та коефіцієнтами з деякого
кільця R. При цьому за операції додавання та множення приймаються
звичайні дії над многочленами, які зводяться до додавання та множення
коефіцієнтів многочленів.

.

Пари (a,b) цілих чисел утворюють кільце, якщо операції визначені за
формулами

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)(c,d)=(ac,bd)

3.Умови, які визначають напівпростоту

–гомоморфізмами.

еквівалентні:

–сума деякої сім’ї простих підмодулів.

–пряма сума деякої сім’ї простих підмодулів.

.

Доведемо це.

Лема:

.

Доведення:

належить сумі, і лема доведена.

.

.

Можна записати

.

Тоді

,

може бути однозначно записаний у вигляді суми

,

простий.

Отже, лему доведено.

, то

,

. Це доводить, що ПП3 спричиняє ПП1.

, який задовольняє нашим трьом умовам, називається напівпрстим.

Твердження:

Всякий підмодуль і всякий фактор-модуль напівпростого модуля
напівпрості.

Доведення:

. Запишемо

.

має єдине представлення

,

.

Але,

.

є пряма сума

.

, який тим самим напівпростий. Що стосується фактор-модуля, то запишемо

.

напівпростий.

4.Теорема щільності

Теорема щільності:

. Тоді E буде також K- модулем, причому дія K на E задається
відображенням

. Але якраз це і означає умова

.

.

Виникає питання, на скільки великий образ цього гомоморфізму. Теорема
щільності стверджує, що він вельми великий.

Лема:

.

Доведення:

Так як E напівпростий, то має місце розклад в R–пряму суму

і, як наслідок,

.

.

Теорема щільності узагальнює цю лему на випадок скінченого числа
елементів з E замість одного. Для доведення використаємо діагональний
метод.

Теорема 4.1: (Джекобсон)

.

Доведення:

.

.

Що і треба було довести.

Наслідок 4.1:

.

Доведення:

алгебраїчно замкнуте. Це доводить, що

.

, такий, що

.

.

Наслідок 4.1 відомий як теорема Бернснайда. Він використовується у
наступній ситуації.

(мультиплікативний).

складається з лінійних комбінацій

,

у тому розумінні, який ми розглядали вище. Тому можна переформулювати
теорему Бернсайда наступним чином.

Наслідок 4.2:

.

.

–точний модуль, якщо задовольняється наступна умова:

–модулем, точність якого має місце тоді і тільки тоді, коли цей
гомоморфізм ін’єктивний.

Наслідок4. 3: (Теорема Веддерберна)

.

Доведення:

спричиняє, що це відображення ін’єктивне.

Наслідок доведено.

5.Напівпрості кільця

напівпростий як лівий модуль над собою.

Твердження:

–модуль напівпростий.

Доведення:

із собою деяке число раз. Далі можна застосувати таке твердження, що
довільний підмодуль і довільний фактор-модуль напівпростого модуля
напівпрості.

називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як модулі.

.

така сім’я простих лівих ідеалів, що ніякі два ідеали у ній не
ізоморфні і довільний простий лівий ідеал ізоморфний одному з ідеалів
цієї сім’ї. Ця сім’я є сім’єю представників для класів простих лівих
ідеалів відносно ізоморфізму.

Лема:

, то

.

Доведення:

Маємо

,

. Припустимо, що

.

такий, що

.

, то

.

простий, то цей гомоморфізм повинен бути ізоморфізмом.

. З леми випливає, що

,

представляється у вигляді суми

,

,

.

у вигляді суми

.

, так що

.

. Запишемо

.

маємо

,

а також

.

Крім того

.

однозначно визначена як

.

, яке згідно цього є кільцем. Так як

, то бачимо, що в дійсності

.

Означення5.1:

називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас
простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

Отже, структурна теорема для напівпростих кілець таким чином доведена.

Теорема5.1:

–напівпросте кільце. Існує лише скінченне число не ізоморфних простих
лівих ідеалів, наприклад

.

–його одиничний елемент, то

.

Теорема 5.2:

. Тоді,

.

Доведення:

, то

,

і відповідно,

.

. А також

.

Наслідок 1:

.

Наслідок 2:

Просте кільце має з точністю до ізоморфізму тільки один простий модуль.

Обидва ці наслідки безпосередньо випливають з теорем 1 і 2.

Структура напівпростих кілець.

– кільце ? напівпростим, якщо

– ідеалів

– ідеалів

. Наступна теорема має фундаментальне значення при визначенні стуктури
напівпростих кілець.

Теорема5.3:

– кільцем, яке володіє наступними властивостями:

? володіє одиницею

– ідеалів цілком звідна і у ній виконано умову обриву спадних
ланцюгів, то кільце ? напівпросте.

Доведення:

є доповненням ідеалу J.

. Отже, ми показали повну звідність структури.

.

r

v

» $ c ¦ 2

4

>

J

L

x

& ? 8

&

AE

$

„7`„7a$ 8

L

&

&

j

j

jo

j?

j

j

&

j

??&?

Y

jAE…

j|f

H

j?)

jA

ji

j(o

jbU

j??

j^@

jµ%

j

i

jgO

j3/4·

jy™

j<| jM^ j? (них ланцюгів, то з доведеного випливає, що воно напівпросте. Отже, теорема доведена. Наслідок3: -кільця є головним і породжується ідемпотентним елементом. Доведення наслідку випливає з доведення теореми. Теорема5.3: кільця K, що . задовольняють умовам теореми. Цей результат приводить до цікавої “арифметичної “ характеристики радикала, a саме: Теорема5.4: -ідеалів кільця K. Доведення: , тобто, що R R. Таким чином, R ?, і теорема доведена. -кільця. Базуємо доведення на двох фактах: -ендоморфізмів. –підкільцем кільця K. Цим доведено першу частину структурної теореми: Теорема5.5: -тілом, і навпаки. -ідеалами. Звідси випливає, що кільце K напівпросте в силу попередньої теореми. Наслідок4: -ідеалів. напівпросте. Довільній теоремі , яка виконується для лівих(правих) ідеалів напівпростого кільця відповідає дуальна теорема про праві(ліві) ідеали. Наприклад, із вищенаведеного наслідку отримуємо, що праві ідеали кільця є головними. -нуль-кільцем, то воно напівпросте. Теорема5.6: ізоморфні. –тіло. Теорема5.7: . Доведення: . . Теорема5.8: –ідеалу. Наслідок5: –неізоморфних) класів лівих(правих) ідеалів. .Цей результат виражається наступною теоремою. Теорема5.9: –ідеалів кільця K. і тому є полем. Теорема5.10: буде полем. 6.Прості кільця Лема: , такий, що . Доведення: Маємо . Покладемо . Теорема 6.1: , такий, що . При цьому . Доведення: . Можемо представити 1 у вигляді кінцевої суми , . Тоді . Це доводить наше перше твердження. Що стосується другого твердження, то воно є наслідком третього. . –ізоморфізм (який існує за означенням простого кільця). Тоді відображення , такий, що . Знайдемо . Відображення і, відповідно, ізоморфізмом. Звідси випливає, що і теорема 6.1 доведена. Наслідок1: –модуль. Тоді точний. Доведення: Маємо . Припустимо, що . Тоді . є точним. Теорема 6.2(Риффель): є ізоморфізмом. Доведення: маємо , , так що . Отже, теорема доведена. можна представити як кільце ендоморфізмів деякого скінченновимірного модуля над тілом. Зворотньо: Теорема 6.3: . Доведення: , такий, що . . Відображення , такий, що , просте. Залишається довести, що . тепер помінялися ролями!). , такий, що . , такий, що . Тоді . Таким чином, . . Отже, теорема доведена. Теорема 6.4: -простір і . у пряму суму таких ідеалів. Доведення: . Розклад модуля в пряму суму простих модулів є однозначним, що і доводить наше твердження. виглядають, наприклад, так: . стовпців. –скалярна матриця. . 7.Поняття про модуль , причому виконуються наступні умови: , , , . Якщо відображення називається кільцем скалярів, а його елементи – скалярами. Теорема 7.1: –адитивна абелева група. Твердження7.1.1 : –модуль, то відображення , таке, що , такий, що . Символ позначає цей же модуль. Твердження7.1.2 : –кільцевий антигомоморфізм, позначає той же самий модуль. Доведення: Якщо задано відображення –модуль. Кожен антигомоморфізм комутативного кільця є гомоморфізмом, так що для цих кілець поняття лівого і правого модулів співпадають. Збалансовані модулі. –модуль. Покладемо . скінченно породжене одним елементом 1). Теорема 7.2: (Моріта) . Доведення: (Фейт) – відображення, при якому . . Звідси маємо, що , – вільний модуль, то , такий, що . Звідси випливає, що , , очевидно, ін’єктивне. , розглянемо ізоморфізми адитивних груп . , а це й доводить теорему. Приклад: . Таким чином теорема є наслідком теореми. 8. Список використаної літератури: “Алгебра” С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968 “Кольца и модули” Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971 “Кольца(Элементы теории)”, Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973 “Алгебра: кольца, модулы и категории” Фейс К., Издательство МИР, 1977 “Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности” Издательство ЛГУ, 1986 “Теория колец”, Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

Похожие записи