Пошукова робота на тему:

Наближене розв’язування рівнянь: графічне відокремлення коренів, методи
проб, хорд і дотичних. Дотична і нормаль до кривої.

План

Дотична і нормаль до плоскої кривої

Наближене розв’язування рівнянь

Графічне відокремлювання коренів

Методи проб, хорд і дотичних

Інтерполювання

ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ.

НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ

1. Дотична і нормаль до плоскої кривої

 є точка дотику, то рівняння дотичної має вигляд

,                                (7.1)

.

            Пряма, яка проходить через точку дотику перпендикулярно до
дотичної, називається нормаллю до кривої. Використаємо умову
перпендикулярності двох прямих, тоді для нормалі одержимо рівняння

.                                  (7.2)

Приклади.

.

.

Рівняння дотичної до параболи

;

рівняння нормалі до параболи

.

2.      Скласти рівняння дотичної та нормалі до циклоїди

.

            Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо

.

:

 (дотична);

 (нормаль).

 (рис. 7.1).

часто використовуються в різних питаннях геометрії і дістали спеціальні
позначення і назви:

— довжина дотичної;

 — довжина нормалі;

 — піддотична;

 -піднормаль.

Рис.7.1

:

;

;

;

.

 можуть мати  від’ємні значення, одержані формули перепишемо:

.    (7.3)

Спочатку розглянемо питання про відокремлення коренів рівняння.

, немає  інших коренів цього рівняння.

має по меншій мірі один корінь.

 має єдиний корінь.

 відповідно з нестачею і з надлишком. Ці інтервали можна звужувати,
тоді границі їх будуть давати все точніші наближення для коренів
рівняння.

, немає інших коренів цього рівняння.

 опукла або вгнута  (рис.7.2).

                                               Рис.7.2

відповідно хорди ( в методі хорд ) і дотичної  (в методі дотичних ).

7.2.1.Метод хорд

:

— абсцису точки перетину

:

(рис.7.3).

:

.

оцінюється за нерівністю

 стане менше допустимої похибки результату.

3. Метод дотичних

(рис.7.4 ).

 (дотична

 за межами відрізка

 ).

                  Рис.7.3                                        
Рис.7.4

. Рівняння дотичної запишемо у вигляді:

.

:

,

 буде

.

            Продовжуючи цей процес, знайдемо

.

.

-го наближення може бути оцінена за нерівністю

.

з

 то закінчуємо обчислення при

.

            Зауваження. На практиці часто використовують обидва методи.
Одним методом одержують наближення шуканого кореня з нестачею, а другим
– з надлишком.

) є правильними.

Похожие записи