Реферат на тему:
n-вимірний векторний простір
Основні поняття
Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких
визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний
векторний простір Vn.
, то у просторі Vn можна виконувати такі дії.
Додавання двох векторів за правилом:
.
за правилом:
.
. З означень дій додавання і множення вектора на число випливають
властивості:
.
хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність
. (1.16)
називається лінійно незалежною.
Постає запитання: а чи існують взагалі системи лінійно незалежних
векторів? Розглянемо систему векторів в n-вимірному просторі Vn:
.
Згодом побачимо, що у просторі Vn існує безліч лінійно незалежних систем
векторів.
Сформулюємо таке важливе твердження.
Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів,
ніж розмірність простору Vn, буде лінійно залежною.
вона стає лінійно залежною.
З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна
лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде
максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система
векторів у цьому просторі складається з n векторів.
Означення. Базисом векторного простору Vn називається будь-яка
максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.
Так, систему векторів:
можна розглядати як базис простору V3.
Розглянемо дві системи векторів:
, (1.17)
. (1.18)
.
Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них
виражається лінійно через іншу.
Кількість векторів, що входять до будь-якої максимальної лінійно
незалежної підсистеми даної системи векторів, називається рангом цієї
системи.
, то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і вказуватиме на
максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпців) цієї
матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість лінійно
незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.
Зв’язок між базисами
Простір Vn має базис:
. (1.19)
, то з максимальності лінійно незалежної системи векторів (1.19)
випливає, що
, (1.20)
де хоча б одне з (і відмінне від нуля.
.
Нехай у просторі Vn задано два базиси:
(1.21)
. (1.22)
Кожен вектор нового базису (1.22) однозначно можна аналогічно (1.20)
подати через базис (1.21) у вигляді
(1.23)
.
базисів, то рівність (1.23) можна записати в матричному вигляді:
. (1.24)
— матриця переходу від базису (1.22) до базису (1.21), маємо рівність:
. (1.25)
Скориставшись (1.24) і (1.25), запишемо:
.
З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного базису до
іншого завжди є невиродженою матрицею, а кількість базисів у Vn дорівнює
кількості невироджених квадратних матриць. Якщо є два базиси, то матриці
переходу від одного до іншого взаємно обернені.
у цих двох базисах подається формулою:
. (1.26)
, дістанемо:
, (1.27)
.
Лінійні перетворення
— деякі елементи цього простору.
, називається лінійним, якщо виконуються властивості:
.
З означення випливає:
’
3/4
¦
?
?
”
F
F
H
L
N
n
p
r
t
’
”
?
¶
?
?
Oe
O
o
u
ue
th
j
gd–CG
j
dhgd–CG
„
dh`„
gd–CG
J
.
Нехай у просторі Vn задано деякий базис:
. (1.28)
у базисі (1.28) однозначно задається співвідношенням
. (1.29)
як стовпці матриці А, тоді рівність (1.29) у матричному вигляді
запишеться так:
. (1.30)
. Якщо порівняти останню рівність з рівністю (1.26), очевидна повна їх
аналогія, причому матриця Т була невиродженою.
у просторі Vn з матрицею переходу Т, тобто
, (1.31)
і нехай лінійне перетворення ( задається в цих базисах відповідно
матрицями А і А(.
. (1.32)
.
, де Q — деяка невироджена квадратна матриця.
Таким чином, матриці, що задають одне й те саме лінійне перетворення в
різних базисах, подібні між собою.
якщо
є лінійними.
Тоді для векторів базису маємо:
Отже, можна стверджувати, що матриця суми і добутку лінійних перетворень
дорівнює відповідно сумі і добутку матриць цих перетворень в одному й
тому самому базисі. А операції з лінійними перетвореннями мають ті самі
властивості, що й операції з матрицями.
Власні числа і власні вектори матриці
, де Е — одинична матриця, називається характеристичною матрицею для
матриці А:
.
називається характеристичним поліномом матриці А, а його корені —
власними числами матриці А.
Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні
поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.
Наслідок. Лінійне перетворення ( в різних базисах має різні матриці, але
всі вони мають однакові власні числа. Тому можна стверджувати, що
лінійне перетворення ( характеризується набором власних чисел, які далі
називатимемо спектром лінійного перетворення (, або спектром матриці А.
:
(1.33)
— власним числом, що відповідає цьому власному вектору.
Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного
перетворення (, в якому б його матриця мала найпростіший діагональний
вигляд.
. Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення ( дійсного
лінійного простору Vn має простий спектр.
Кожному власному числу (і відповідає певний власний вектор. Власних
векторів у цьому разі буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну
систему векторів. Їх можна розглядати як базис Vn, в якому матриця
лінійного перетворення A набирає найпростішого діагонального вигляду.
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter