Реферат на тему:

n-вимірний векторний простір

Основні поняття

Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких
визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний
векторний простір Vn.

, то у просторі Vn можна виконувати такі дії.

Додавання двох векторів за правилом:

.

за правилом:

.

. З означень дій додавання і множення вектора на число випливають
властивості:

.

хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

. (1.16)

називається лінійно незалежною.

Постає запитання: а чи існують взагалі системи лінійно незалежних
векторів? Розглянемо систему векторів в n-вимірному просторі Vn:

.

Згодом побачимо, що у просторі Vn існує безліч лінійно незалежних систем
векторів.

Сформулюємо таке важливе твердження.

Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів,
ніж розмірність простору Vn, буде лінійно залежною.

вона стає лінійно залежною.

З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна
лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде
максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система
векторів у цьому просторі складається з n векторів.

Означення. Базисом векторного простору Vn називається будь-яка
максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.
Так, систему векторів:

можна розглядати як базис простору V3.

Розглянемо дві системи векторів:

, (1.17)

. (1.18)

.

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них
виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять до будь-якої максимальної лінійно
незалежної підсистеми даної системи векторів, називається рангом цієї
системи.

, то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і вказуватиме на
максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпців) цієї
матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість лінійно
незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Зв’язок між базисами

Простір Vn має базис:

. (1.19)

, то з максимальності лінійно незалежної системи векторів (1.19)
випливає, що

, (1.20)

де хоча б одне з (і відмінне від нуля.

.

Нехай у просторі Vn задано два базиси:

(1.21)

. (1.22)

Кожен вектор нового базису (1.22) однозначно можна аналогічно (1.20)
подати через базис (1.21) у вигляді

(1.23)

.

базисів, то рівність (1.23) можна записати в матричному вигляді:

. (1.24)

— матриця переходу від базису (1.22) до базису (1.21), маємо рівність:

. (1.25)

Скориставшись (1.24) і (1.25), запишемо:

.

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного базису до
іншого завжди є невиродженою матрицею, а кількість базисів у Vn дорівнює
кількості невироджених квадратних матриць. Якщо є два базиси, то матриці
переходу від одного до іншого взаємно обернені.

у цих двох базисах подається формулою:

. (1.26)

, дістанемо:

, (1.27)

.

Лінійні перетворення

— деякі елементи цього простору.

, називається лінійним, якщо виконуються властивості:

.

З означення випливає:

3/4

¦

?

?

»

F

F

H

L

N

n

p

r

t

?

?

?

Oe

O

o

u

ue

th

j

gd–CG

j

dhgd–CG

dh`„

gd–CG

J

.

Нехай у просторі Vn задано деякий базис:

. (1.28)

у базисі (1.28) однозначно задається співвідношенням

. (1.29)

як стовпці матриці А, тоді рівність (1.29) у матричному вигляді
запишеться так:

. (1.30)

. Якщо порівняти останню рівність з рівністю (1.26), очевидна повна їх
аналогія, причому матриця Т була невиродженою.

у просторі Vn з матрицею переходу Т, тобто

, (1.31)

і нехай лінійне перетворення ( задається в цих базисах відповідно
матрицями А і А(.

. (1.32)

.

, де Q — деяка невироджена квадратна матриця.

Таким чином, матриці, що задають одне й те саме лінійне перетворення в
різних базисах, подібні між собою.

якщо

є лінійними.

Тоді для векторів базису маємо:

Отже, можна стверджувати, що матриця суми і добутку лінійних перетворень
дорівнює відповідно сумі і добутку матриць цих перетворень в одному й
тому самому базисі. А операції з лінійними перетвореннями мають ті самі
властивості, що й операції з матрицями.

Власні числа і власні вектори матриці

, де Е — одинична матриця, називається характеристичною матрицею для
матриці А:

.

називається характеристичним поліномом матриці А, а його корені —
власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні
поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок. Лінійне перетворення ( в різних базисах має різні матриці, але
всі вони мають однакові власні числа. Тому можна стверджувати, що
лінійне перетворення ( характеризується набором власних чисел, які далі
називатимемо спектром лінійного перетворення (, або спектром матриці А.

:

(1.33)

— власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного
перетворення (, в якому б його матриця мала найпростіший діагональний
вигляд.

. Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення ( дійсного
лінійного простору Vn має простий спектр.

Кожному власному числу (і відповідає певний власний вектор. Власних
векторів у цьому разі буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну
систему векторів. Їх можна розглядати як базис Vn, в якому матриця
лінійного перетворення A набирає найпростішого діагонального вигляду.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

PAGE

Похожие записи