Реферат на тему:
Множини. Відображення. Відношення
§1. Множини
а) Означення множини. Операції над множинами
– множина натуральних чисел.
.
.
Дві множини А та В співпадають (або рівні), якщо у них одні і ті ж
елементи. Символічний запис:
.
Об’єднанням двох множин А та В називають множину, яка складається із
всіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин. Символічний
запис:
.
Перетином двох множин А та В називають множину, яка
складається із всіх елементів, що належать як одній, так і другій
множині. Символічний запис:
.
Різницею двох множин А та В називається множина, яка складається із всіх
елементів, що належать першій із них і не належать другій. Символічний
запис:
.
(С – перша буква французького слова “complement”- доповнення).
.
.
Наочну картину про найпростіші властивості множин дає схематичне
зображення множин у вигляді фігур на площині, зокрема, кіл. Такі схеми
названі діаграмами Ейлера-Венна. Універсальну множину зручно при цьому
зображати прямокутником.
Приклади.
б) Основні властивості операцій над множинами
Властивості об’єднання і перетину
.
.
.
комутативність об’єднання і перетину (commutatius –
переставний (лат.)).
ідемпотентність об’єднання і перетину (idem – той самий, potenti –
здатний (лат.)).
асоціативність об’єднання і перетину (аssotiatіo – сполучення (лат.)).
дистрибутивність об’єднання відносно перетину та перетину відносно
об’єднання.
Доведемо для прикладу властивість 7.
Властивості різниці множин
.
.
.
o.
.
.
Властивості доповнень множин
.
o.
.
.
.
Властивості порожньої множини
.
o = o.
o = А.
o = o.
o = o.
в) Прямий (декартів) добуток множин
рівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх відповідні елементи:
Приклад.
і т.д.
.
, то матимемо
є рядки довжиною п.
Приклад.
– множина всеможливих точок дійсного тривимірного простору (декартів
куб).
§2. Відображення
. Символічний запис:
.
відображення f називають перетворенням f множини X в себе.
. Позначається Im f (Im – від image – англ.). Символічний запис:
. Аналогічно вводиться поняття прообразу множини
, тобто якщо кожен елемент множини Y має прообраз.
тобто якщо різним елементам із прообразу співставляються різні
елементи із образу.
називається бієктивним або взаємно однозначним, якщо воно одночасно
сюр’єктивне та ін’єктивне.
в себе.
ставить у відповідність той же елемент x, але вже в множині Y,
називається вкладенням .
В свою чергу відображення g називається продовженням відображення f.
, яке визначається умовою
ре видно із трикутної діаграми
SHAPE \* MERGEFORMAT
, чи використовується проміжний етап Y.
теж бієктивне.
§3. Бінарні відношення на множині
а) Властивості бінарних відношень
(кожен елемент множини перебуває у даному відношенні сам із собою).
Ясно, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але не
рефлексивне не завжди є антирефлексивним.
.
називається антисиметричним, якщо виконується умова
Приклади.
Відношення „більше” на множині дійсних чисел є антирефлексивним,
антисиметричним, транзитивним і досконалим.
Відношення „не більше” на множині дійсних чисел рефлексивне,
антисиметричне, транзитивне і досконале.
Відношення „бути батьком” на множині чоловіків антирефлексивне,
несиметричне (ні симетричне, ні антисиметричне), не транзитивне, не
досконале.
б) Відношення еквівалентності
називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне,
симетричне і транзитивне.
Приклади.
Відношення рівності.
Відношення подібності трикутників.
непорожніх підмножин Х множини А таких, що:
o.
Об’єднання всіх підмножин Х множини А дорівнює множині А.
Приклади.
– „бути подібним” розбиває множину всіх трикутників площини на класи
подібних між собою трикутників.
– „навчатися в одній групі” розбиває множину студентів факультету на
класи еквівалентності – академічні групи.
в) Відношення порядку
називають відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне,
антисиметричне і транзитивне.
Приклади.
Відношення „бути вищим” на множині людей є відношенням строгого порядку.
Відношення „ділиться на” на множині натуральних чисел є відношенням
нестрогого порядку.
Якщо на деякій множині задано відношення порядку, то цю множину
називають впорядкованою.
Спільною рисою всіх відношень порядку є властивість транзитивності.
Одним із класів нетранзитивних відношень є так звані відношення
толерантності, які характеризуються властивостями рефлективності і
симетричності.
PAGE
PAGE 1
X
Z
Y
Заштрихована множина є різницею множин А та В, тобто
.
g
f
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
