Реферат на тему:

Множини. Відображення. Відношення

§1. Множини

а) Означення множини. Операції над множинами

– множина натуральних чисел.

.

.

Дві множини А та В співпадають (або рівні), якщо у них одні і ті ж
елементи. Символічний запис:

.

Об’єднанням двох множин А та В називають множину, яка складається із

всіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин. Символічний
запис:

.

Перетином двох множин А та В називають множину, яка
складається із всіх елементів, що належать як одній, так і другій
множині. Символічний запис:

.

Різницею двох множин А та В називається множина, яка складається із всіх

елементів, що належать першій із них і не належать другій. Символічний
запис:

.

(С – перша буква французького слова “complement”- доповнення).

.

.

Наочну картину про найпростіші властивості множин дає схематичне
зображення множин у вигляді фігур на площині, зокрема, кіл. Такі схеми
названі діаграмами Ейлера-Венна. Універсальну множину зручно при цьому
зображати прямокутником.

Приклади.

б) Основні властивості операцій над множинами

Властивості об’єднання і перетину

.

.

.

комутативність об’єднання і перетину (commutatius –
переставний (лат.)).

ідемпотентність об’єднання і перетину (idem – той самий, potenti –
здатний (лат.)).

асоціативність об’єднання і перетину (аssotiatіo – сполучення (лат.)).

дистрибутивність об’єднання відносно перетину та перетину відносно
об’єднання.

Доведемо для прикладу властивість 7.

Властивості різниці множин

.

.

.

o.

.

.

Властивості доповнень множин

.

o.

.

.

.

Властивості порожньої множини

.

o = o.

o = А.

o = o.

o = o.

в) Прямий (декартів) добуток множин

рівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх відповідні елементи:

Приклад.

і т.д.

.

, то матимемо

є рядки довжиною п.

Приклад.

– множина всеможливих точок дійсного тривимірного простору (декартів
куб).

§2. Відображення

. Символічний запис:

.

відображення f називають перетворенням f множини X в себе.

. Позначається Im f (Im – від image – англ.). Символічний запис:

. Аналогічно вводиться поняття прообразу множини

, тобто якщо кожен елемент множини Y має прообраз.

тобто якщо різним елементам із прообразу співставляються різні
елементи із образу.

називається бієктивним або взаємно однозначним, якщо воно одночасно
сюр’єктивне та ін’єктивне.

в себе.

ставить у відповідність той же елемент x, але вже в множині Y,
називається вкладенням .

В свою чергу відображення g називається продовженням відображення f.

, яке визначається умовою

ре видно із трикутної діаграми

SHAPE \* MERGEFORMAT

, чи використовується проміжний етап Y.

теж бієктивне.

§3. Бінарні відношення на множині

а) Властивості бінарних відношень

(кожен елемент множини перебуває у даному відношенні сам із собою).

Ясно, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але не
рефлексивне не завжди є антирефлексивним.

.

називається антисиметричним, якщо виконується умова

Приклади.

Відношення „більше” на множині дійсних чисел є антирефлексивним,
антисиметричним, транзитивним і досконалим.

Відношення „не більше” на множині дійсних чисел рефлексивне,
антисиметричне, транзитивне і досконале.

Відношення „бути батьком” на множині чоловіків антирефлексивне,
несиметричне (ні симетричне, ні антисиметричне), не транзитивне, не
досконале.

б) Відношення еквівалентності

називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне,
симетричне і транзитивне.

Приклади.

Відношення рівності.

Відношення подібності трикутників.

непорожніх підмножин Х множини А таких, що:

o.

Об’єднання всіх підмножин Х множини А дорівнює множині А.

Приклади.

– „бути подібним” розбиває множину всіх трикутників площини на класи
подібних між собою трикутників.

– „навчатися в одній групі” розбиває множину студентів факультету на
класи еквівалентності – академічні групи.

в) Відношення порядку

називають відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне,
антисиметричне і транзитивне.

Приклади.

Відношення „бути вищим” на множині людей є відношенням строгого порядку.

Відношення „ділиться на” на множині натуральних чисел є відношенням
нестрогого порядку.

Якщо на деякій множині задано відношення порядку, то цю множину
називають впорядкованою.

Спільною рисою всіх відношень порядку є властивість транзитивності.

Одним із класів нетранзитивних відношень є так звані відношення
толерантності, які характеризуються властивостями рефлективності і
симетричності.

PAGE

PAGE 1

X

Z

Y

Заштрихована множина є різницею множин А та В, тобто

.

g

f

Похожие записи