1.Множина дійсних чисел.Упорядкованість та щільність множин.

. Аналогічно можна дати означення менше.

.

.

(1).

Між двома дійсними числами можна вставити безліч раціональних чисел.

. Лему доведено.

.

.

2. Теорема Дедекінда про повноту множини дійсних чисел.

належить верхньому класу то воно в ньому найменше.

— дійсне число.

).

?

.

— найбільше.

. Між ними існує безліч раціональних чисел, які не попали ні в один
клас. Тому таких перерізів немає. Теорема доведена.

– суцільна, немає прогалин, дірок.

3. Грані, точні грані множини. Теорема про існування точних граней.

Властивості точних граней.

.

.

Теорема про існування точних граней: 1) Якщо множина обмежена зверху, то
вона має точну верхню грань.

2) Якщо множина обмежена знизу, то вона має точну нижню грань.

.

. Теорема доведена.

, то

, то

.

.

4. Відповідність, відображення, функція. Способи задання. Види функцій.

f=g(f(x)).Озн 8. Якщо кожному x ставиться у відповідність не одне
значення y, а більше то теж маємо функцію, але вона називається
багатозначною.

Найважливіші способи задання функцій–це задання таблицею, формулою,
графіком, і словесно.

При табличному заданні функції просто виписується ряд значень незалежної
змінної і відповідних їм значень функції. Основний спосіб задання
функцій – задання формулою (аналітичне задання). Графіком функції
називається геометричне місце точок, абсциси яких є значеннями
незалежної змінної, а ординати – відповідними значеннями функції.

Функції поділяються на: 1. Явні і неявні функції:Функція y аргументу x
називається явною, якщо її задання полягає в тому, що прямо вказується
аналітичний відносно x вираз, якому дорівнює функція y. Неявною функцією
y аргументу x називаємо функцію, яка визначається рівнянням, що зв’язує
x і y, і не розв’язаним відносно y.

2. Алгебраїчні і трансцендентні:

Функція значення якої можна дістати, виконуючи над незалежною змінною
скінченнечне число алгебраїчних дій, називається явною алгебраїчною.
Функція називається раціональною, якщо її значення можна дістати,
виконуючи над незалежною змінною конечне число додавань, віднімань,
множень і ділень. Алгебраїчна функція, яка не є раціональною,
називається ірраціональною.. Раціональна функція називається цілою, якщо
для її визначення не застосовується ділення на вирази, що містять
незалежну змінну. Цілі раціональні функції називають многочленами або
поліномами (при цьому одночлен розглядається як окремий випадок
многочлена).. Раціональна функція називається дробово-раціональною, якщо
вона подається дробом, у якого чисельник і знаменник многочлени..
Функція. яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.

3. Однозначні і многозначні: Озн. Функція називається однозначною, якщо
кожному розглядуваному значенню незалежної змінної відповідає одне певне
значення функції. В противному випадку функція називається многозначною.

.Якщо l є періодом, то і ± nl є періодом, n є N.

5. Поняття елементарної функції. Класифікація елементарних функцій.

Озн. Елементарною ф-цією назив. ф-ція, яку можна задати одним
аналітичним виразом, складеним з елементарних ф-цій і сталих за
допомогою скінченного числа арифметичних операцій (додавання, віднімання
і ділення) і скінченного числа операцій взяття ф-ції від ф-ції.

Класифікація елементарних функцій:

Цілі раціональні функції:

многочлен n-го степеня з дійсними коефіцієнтами;

Дробово-раціональні функції: Відношення двох таких многочленів

.

Ці два класи функцій об’єднані в один клас раціональних функцій.

3.Ірраціональні функції. Це функції, в яких, крім вказаних вище дій,
використовується

операція добування кореня.

Раціональні та ірраціональні функції входять до більш загального класу
алгебраїчних функцій. Всі інші елементарні функції називаються
трансцендентними:.

Основні елементарні функції:

, де n – дійсне число:

(?=n – натуральний показник)

).

: Область визначення D(f)=R; Область значення E(f)=R.

(?=n – цілий від’ємний показник)

)

)=R\{0}.

, де a – додатне число, відмінне від 1:

);

).

, де основа логарифма a-додатне число, відмінне від 1

); Область значення E(y)=R;

); Область значення E(y)=R.

;

: Область визначення D(sinx)=R; Область значень E(sinx)=[-1;1].

: Область визначення D(cosx)=R; Область значень E(cosx)=[-1;1].

; Область значень E(tgx)=R.

; Область значень E(ctgx)=R.

.

].

: Область визначення D(arccosx)=[-1;1]; Область значень
E(arccosx)=[0;?].

).

: Область визначення D(arcctgx)=(-?;?); Область значень
E(arcctgx)=(0;?).

Існують і неелементарні функції. Це, наприклад, y=sign x.

6. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

ставиться у відповідність дійсне число.

).

.

Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення.

.

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення.

, тобто послідовність — обмежена.

.

.

.

називається нескінченно малою , якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 5. Сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є
нескінченно мала послідовність.

Теорема6. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу
послідовність є послідовність нескінчено мала.

.

Доведення.

6. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Доведення аналогічне доведенню теореми 8.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі.

обмежена.

.

Доведення.

нескінченно малі, тоді

.

7. Різні означення границі функції. Їх еквівалентність.

, яка може і не належати до області визначення.

.

.

Еквівалентність означень.

що :

…………………………

EM?????????†??–??????????†??–??????????†???????

.

Отже, наше припущення невірне.

.

.

Теорема. Щоб існувала границя функції в точці, необхідно і достатньо,
щоб існували і були рівні односторонні границі.

8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій. Критерій
існування

границі для послідовностей, функцій.

Теорема про існування границі монотонної послідовності.

.

.

.

.

Доведення.

є границею.

.

II Доводиться аналогічно.

Теорема про існування границі монотонної функції.

.

.

.

Доведення.

є границею.

II. Доводиться аналогічно.

8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій.

Критерій існування границі для послідовностей (критерій Больцано-Коші).

(1)

Доведення

Критерій збіжності для функцій (принцип Больцано-Коші).

.

еквівалентне означення на мові послідовностей.

Достатність випливає із критерію Больцано-Коші для послідовностей.

9. Неперервність функції в точці. Точки розриву. Неперервність
елементарних функцій.

.

.

.

Розриви.

то такий розрив називається усувним.

існує розрив II-го роду.

Приклади.

неперервна в кожній точці.

Добуток скінченої кількості неперервних функцій неперервна функція.

В області функція неперервна в кожній точці.

неперервна завжди, приріст значення функції малий.

.

, функція неперервна як частка неперервних функцій.

10. Основні визначні границі

(**). З формул (*) і (**) випливає потрібна рівність.

.

11. Рівномірна неперервність.Теорема Кантора.Наслідок.

.

.

, то вона рівном. непер. на цьому пром.

.

.

14. Похідні і диференціали вищих порядків.

.

-го порядку.

Загальні формули.

).

.

).

Формули за якими обчислюються диференціали.

:

15. Формула Тейлора. Залишковий член у формі Пеано, Шлеміліха і Роша,

Лагранжа, Коші.

має нескінченну кількість похідних.

– ф-ла Тейлора для многочленна.

Формула Тейлора для довільної ф-ї.

.

=0, то ф-лу Тейлора наз. формулою Маклорена.

.

).

) Дов –но.

ми отримаємо конкретну форму запису залишку.

=

16.Необхідні і достатні умови сталості функції, монотонності функції.

Необхідні і достатні умови сталості функції.

=0 в середині X.

.Необхідність виконується.

.

=const.

Теорему доведено.

Необхідні і достатні умови монотонності функції у широкому розумінні.

.

. Аналогічно для зростаючих.

.Тобто функція не спадна. Теорему доведено.

Необхідні і достатні умови монотонності функції у вузькому розумінні.

була в X монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно
і досить, щоб :

не утворюють інтервал, який повністю міститься в X.

Дов.

Необхідність.

.

Достатність.

, який повністю міститься в X. Це суперечить 2). Тому функція
монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.

17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.

. Це означає, що графік ф-ї складається з горбів і впадин.

.

є max.

т-а max.

є max.

похідна міняє знак з “ +” на “-“. Тому є max. Теорема доведена.

.

— то max. Якщо k=1, то маємо Т.2.

є min. Якщо

17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.

).

, то в цьому околі підозріла т-а.

18. Випуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості.
Точки перегину графіка функції. Умови існування.

. Якщо виконується протилежна нерівність, то функцію називають вгнутою
(випуклою вверх).

Властивості випуклих функцій:

, теж випукла.

–випуклі одночасно вверх або вниз, то їх сума має таку саму випуклість
як і кожний доданок.( Зауваження: Добуток двох функцій може бути і не
випуклим).

буде випуклою.

–вгнута і спадна.

, то вона не може досягати в середині проміжку максимального значення.

виконується строга нерівність, то вона має місце для всіх точок із
проміжку. Якщо виконується рівність для двох точок то вона виконується
для всіх точок.

.

зростала (спадала) (в широкому розумінні).

зростає в широкому розумінні.

.

.

необхідно і достатньо, щоб її графік усіма точками лежав над будь-якою
своєю дотичною (або на ній).

18. Випуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості.
Точки перегину графіка функції. Умови існування.

то одержимо потрібні нерівності.

.

графіка, яка є межею, що відмежовує випуклість вниз від випуклості
вверх називається точкою перегину графіка або функції.

.

.

міняє знак, то є перегин, якщо ж знака не міняє то перегину немає.

немає перегину.

19. Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.

.

.

(2).

. Теор. доведена.

20. Первісна функція, властивості. Таблиця первісних.

.

.

, може бути представлена в такому вигляді.

. Доведено.

— підінтегральна функція. Звідси випливають такі властивості:

.

. Властивості:

.

.

.

.

.

.Таб.Первісних:

.

21. Заміна змінної та інтегрування частинами.

.

.

проведена вище вказана заміна.

.

.

і т. д., які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Повторне використання правила інтегрування частинами приводить до
загальної формули інтегрування частинами.

.

,

,

.

.

. І для інтеграла в лівій частині отримаємо кінцевий результат.

22. Інтегрування раціональних функцій.

Розглядаємо невизначені інтеграли від неперервних функцій. Нас цікавить,
коли вони виражаються через скінчену кількість елементарних функцій.
Випадок, коли інтеграл виражається через скінчену кількість елементарних
функцій називається взяття інтеграла в скінченому вигляді в квадратурах
або інтегрування в скінченому вигляді. Є багато невизначених інтегралів,
які не беруться в скінчених квадратурах.

Нам потрібно виділити класи підінтегральних функцій, щоб інтеграл від
них брався в скінчених квадратурах. 1.Раціональні або
дробово-раціональні функції:

2.Прості дроби

3.Інтегрування правильних дробів

. Розкладемо його на добуток незвідних многочленів над R.

-многочлени, які не мають дійсних коренів.

Правильний нескоротний дріб має вигляд:

Кожний доданок вміємо інтегрувати.

22. Інтегрування раціональних функцій

(2) визначаються однозначно.

Правильний нескоротний дріб представимо у вигляді (1) з коефіцієнтами
(2). Зводимо до спільного знаменника і прирівнюємо P(x) до чисельника
зведеного дробу. Коефіцієнти при однакових степенях х повинні бути
рівні. Прирівнюємо коефіцієнти і знаходимо їх з отриманих рівнянь. Потім
можемо інтегрувати уже суму простих дробів.

,

.Нехай виконується рівність(3).Візьмемо зліва і справа похідну.

.З цієї рівності визначаються коефіцієнти цього многочленна.

22. Інтегрування раціональних функцій

Інтегрування раціональних функцій від тригонометричних аргументів.

23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і
достатні умови інтегровності.

.

.

верхня межа інтеграла.

(за Коші):

і способу поділу відрізка на частини.

Означення границі на мові послідовностей(за Гейне).

.

Визначений інтеграл на мові послідовностей:

.

Необхідна умова інтегровності.

,тобто необхідною умовою інтегровності є обмеженість.

Покажемо це.

.Одержали суперечність. Отже всяка інтегровна функція є обмеженою, але
якщо функція обмежена то звідси не слідує, що вона інтегровна за
Ріманом.

— верхня сума Дарбу

23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і
достатні умови інтегровності.

Необхідні і достатні умови інтегровності.

.

Доведення.

Необхідність.

. Розкриємо (1):

.

. А це і означає, що

Достатність.

24. Класи інтегровних функцій.

C[a,b]

-коливання.

,то вона рівномір. непер.

. Цей наслідок використ.для доведення.

Ми одержали (*),а це необх. і дост. у.,щоб ф-ція була інтегрована.

і монотонна. Монотон.ф-ції можуть мати скінч.або злічен.кількість
розривів І роду,тому це не підходить до 1-го класу.

????????????? ???????¤?? ? ???? ???????

jd

j‰

gd?Q¤

gd?Q¤

?tOeeoeoTHoTHOeoOeoeoeoEt ha:

hk

hk

j

h?;

?Т?Т???????®? ????
?AN2OzOlOe.UbUzTHeaeaOaaaPa[a¤aaapee?e?iaiRi®iIiUe?/oee/oo/////ooooooaoO
II

h?;

h?;

„a†a?a?a?aOaUaUeaTHaeaia

j

ooocooocoooooo

$

a$gd?LK

.

0

V

X

Z

\

?

TH

a

a

ae

i

?

L

P

R

E

I

I

j

gd!;O

gdX7y

j

,

.

0

2

N

^

?

?

?

?

1/4

a

ae

ae

e

d

f

?

?

?

?

TH

a

a

ae

j

j

jy

j‹

jq

jA

Z

j?W

jaT

jrR

juec

jAa

jy^

\

n

jFk

jah

jnf

jFp

ji|

jOz

jHx

jAe„



jae?

jI?

j?†

jg›

jR™

j?”

jUF

jM!

j1/4?

j

Похожие записи