Реферат на тему:

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

ПЛАН

Поставка задачі.

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

Постановка задачі

Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f(Z)
якої визначається за формулою.

f(Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an (1)

0.При цьому число n називається степенем многочлена.

Числа

а0, а1…,an

називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти
довільними комплексними числами.

Комплексне число Z0 називається коренем )а також нулем) многочлена f,
якщо

f(Z0) = 0

Якщо Z1, .., Zm – всі корені многочлена f, то

f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm (2)

1. Число n1, і=1, …m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності
всіх коренів рівна степеню n многочлена:

n1+…nm=n,

так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність,
рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді.

f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn) (3)

де тепер Z1, .., Zn – корені многочлена, кожний із яких повторяється
стільки раз, яка його кратність.

Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1.
Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт
а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним
додатнім числом:

а0 > 0

Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної
змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх
розташування.

Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий
клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу
співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені
многочлена належать цій області.

Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови
на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена
належать цій області.

0.

Означення 1. Многочлен.

0,

називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По,
тобто якщо всі їх частини від’ємні.

Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли.

2 дослідження на стійкість тривіальне.

0).

Многочлен другого степеня

a0Z2+a1Z+a2

має корені:

0.

0, то хоча б один корінь гарантовано додатній.

Цим доведена наступна теорема:

Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами
і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі
його коефіцієнти додатні.

Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в
будь-якому випадку необхідна.

Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами
стійкий, то (при ао – 0) всі його коефіцієнти додатні.

буде коренем тієї ж кратності. Тому в розклад многочлена на множники
виду Z-Z1 уявні множники будуть входити парами виду (Z-Zі) (Z-Zі).

Оскільки

,

, то звідси випливає, що будь-який многочлен (1) з дійсними
коефіцієнтами допускає розклад виду:

f(Z) = a0(Z-х1)…(Z-хr)(Z2+2p1+2psZ+q3)

.

Так, як будь-який дільник стійкого многочлена, очевидно, стійкий, звідси
і з теореми 1 випливає, що будь-який стійкий многолчен з дійсними
коефіцієнтами є добутком многчленів з додатніми коефіцієнтами і тому сам
являється многочленом з додатніми коефіцієнтами (тому що коефіцієнти
добутку одержуються із коефіцієнтів множників тільки діями множення і
додавання. Без віднімання).

Приклад: Многочлена

Z2+Z2+4Z+30

має додатні коефіцієнти, але серед його коренів

два корені мають додатні дійсні частини.

Похожие записи