Реферат на тему:

Математичне моделювання та диференціальні рівняння

1.1. Поняття математичного моделювання.

Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по
своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна
математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод
дослідження процесів або явищ шляхом побудови їхніх математичних моделей
і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між
змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на
практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна
удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей
процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку, як правило,
математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на
ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних
комплексів.

Схема таких досліджень починається з постановки задачі і закінчується
проведенням ефективного обчислювального експерименту. Її умови можна
записати в такій формі:

а) постановка задачі;

б) побудова математичної моделі;

в) перевірка її адекватності;

г) узагальнення та теоретичне дослідження даного класу задач;

д) створення програмного забезпечення;

е) проведення обчислювального експерименту;

ж) впровадження цих результатів в виробництво.

Розглянемо питання використання диференціальних рівнянь в деяких
предметних областях.

1.2. Диференціальні рівняння в екології.

Екологія вивчає взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів
з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології
являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи
мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.

задається формулою:

(1.1)

. Наприклад:

(1.2)

– смертності. Маємо з (1.2)

(1.3)

Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді

– вмираюча.

(1.4)

Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне

(1.5)

і його розв’язок запишеться в такому вигляді

(1.6)

. При цьому можливі випадки

Рівняння (1.5) описує.

Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

Розглянемо більш детально двох видову модель «хижак-жертва», яка була
побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

, тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа.
Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменшуватися
і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель
має вигляд

(1.7)

– додатні константи.

– зменшення числа малих риб від великих.

1.3. Закони Кеплера руху планет.

притягаються з силою

(1.8)

— константа тяжіння.

. Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).

. Використавши другий закон Ньютона маємо:

(1.9)

Враховуючи, що

, прийдемо до системи

(1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

(1.11)

Перейдемо до полярних координат:

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати

і складемо:

(1.12)

і складемо:

(1.13)

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

(1.14)

(1.15)

Звідки маємо

(1.6)

обчислюється за формулою

Звідки

(1.17)

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона
являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні
проміжки часу рівні площі.

1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій
відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з
планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’язок має
еліпсоїдальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному
з фокусів яких знаходиться Сонце.

З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні
кубам великих осей їх орбіт.

1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних
дослідженнях.

Попит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва.
Попит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт,
який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

задаються лінійними

(1.17)

залежностями. Наприклад:

Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:

Звідки

(1.8)

, отже

(1.19)

Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнітних поясах.

Швидкість зміни імпульсу частинки

дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї

(1.20)

– вектор швидкості частинки.

— приведена енергія частинки.

— векторний добуток двох змінних.

З (1.20) маємо:

(1.21)

Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).

Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

(1.22)

Визначимо

тобто

:

Тому

(1.23)

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного
поля, які визначаються рівняннями максвела:

(1.24)

— знак транспонування.

А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними
умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в
розрахунках оптимальних систем.

1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних
обчисленнях.

пропорцією площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між
падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель:

(1.25)

– коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо
таку залежність:

(1.26)

Математика. Обчислити невласний інтеграл

(1.27)

.

Знайдемо похідну:

Отримали диференціальне рівняння

(1.28)

При цьому відомо:

(1.29)

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

(1.30)

1.7. Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними
сімействами кривих.

Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих:

(1.31)

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками
якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну
похідну за x запишемо:

(1.32)

і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

— параметричне сімейство кривих:

(1.33)

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

(1.34)

(1.35)

-го порядку.

означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними.
При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та
(1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.

Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.

Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками
якого буде однопараметричне сімейство

(1.36)

.

(1.37)

Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:

(1.38)

і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння

(1.39)

Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками
якого буде двопараметричне сімейство

(1.40)

Розв’язання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:

(1.41)

знаходимо шукане диференціальне рівняння:

(1.42).

Похожие записи