Реферат на тему:
Математичне моделювання та диференціальні рівняння
1.1. Поняття математичного моделювання.
Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по
своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна
математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод
дослідження процесів або явищ шляхом побудови їхніх математичних моделей
і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між
змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на
практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна
удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей
процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку, як правило,
математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на
ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних
комплексів.
Схема таких досліджень починається з постановки задачі і закінчується
проведенням ефективного обчислювального експерименту. Її умови можна
записати в такій формі:
а) постановка задачі;
б) побудова математичної моделі;
в) перевірка її адекватності;
г) узагальнення та теоретичне дослідження даного класу задач;
д) створення програмного забезпечення;
е) проведення обчислювального експерименту;
ж) впровадження цих результатів в виробництво.
Розглянемо питання використання диференціальних рівнянь в деяких
предметних областях.
1.2. Диференціальні рівняння в екології.
Екологія вивчає взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів
з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології
являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи
мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).
Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.
задається формулою:
(1.1)
. Наприклад:
(1.2)
– смертності. Маємо з (1.2)
(1.3)
Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді
– вмираюча.
(1.4)
Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне
(1.5)
і його розв’язок запишеться в такому вигляді
(1.6)
. При цьому можливі випадки
Рівняння (1.5) описує.
Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.
Розглянемо більш детально двох видову модель «хижак-жертва», яка була
побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.
, тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа.
Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменшуватися
і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель
має вигляд
(1.7)
– додатні константи.
– зменшення числа малих риб від великих.
1.3. Закони Кеплера руху планет.
притягаються з силою
(1.8)
– константа тяжіння.
. Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).
. Використавши другий закон Ньютона маємо:
(1.9)
Враховуючи, що
, прийдемо до системи
(1.10)
Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:
(1.11)
Перейдемо до полярних координат:
Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати
і складемо:
(1.12)
і складемо:
(1.13)
Перепишемо в нових змінних умови (1.11):
Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді
(1.14)
(1.15)
Звідки маємо
(1.6)
обчислюється за формулою
Звідки
(1.17)
Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона
являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні
проміжки часу рівні площі.
1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій
відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з
планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.
Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’язок має
еліпсоїдальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:
2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному
з фокусів яких знаходиться Сонце.
З аналізу траєкторій випливає таке твердження:
3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні
кубам великих осей їх орбіт.
1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних
дослідженнях.
Попит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва.
Попит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт,
який є на ринку чи може бути доставлений на нього.
задаються лінійними
(1.17)
залежностями. Наприклад:
Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:
Звідки
(1.8)
, отже
(1.19)
Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.
1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнітних поясах.
Швидкість зміни імпульсу частинки
дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї
(1.20)
– вектор швидкості частинки.
– приведена енергія частинки.
– векторний добуток двох змінних.
З (1.20) маємо:
(1.21)
Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).
Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:
(1.22)
Визначимо
тобто
:
Тому
(1.23)
Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.
Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного
поля, які визначаються рівняннями максвела:
(1.24)
– знак транспонування.
А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними
умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в
розрахунках оптимальних систем.
1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних
обчисленнях.
пропорцією площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між
падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель:
(1.25)
– коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо
таку залежність:
(1.26)
Математика. Обчислити невласний інтеграл
(1.27)
.
Знайдемо похідну:
Отримали диференціальне рівняння
(1.28)
При цьому відомо:
(1.29)
Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:
(1.30)
1.7. Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними
сімействами кривих.
Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих:
(1.31)
Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками
якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну
похідну за x запишемо:
(1.32)
і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.
– параметричне сімейство кривих:
(1.33)
то до (1.33) додаються дані співвідношення:
(1.34)
(1.35)
-го порядку.
означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними.
При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та
(1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.
Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.
Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками
якого буде однопараметричне сімейство
(1.36)
.
(1.37)
Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:
(1.38)
і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння
(1.39)
Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками
якого буде двопараметричне сімейство
(1.40)
Розв’язання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:
(1.41)
знаходимо шукане диференціальне рівняння:
(1.42).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter