Пошукова робота на тему:

Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури Приклади
застосування означеного інтеграла до розв’язування простих задач
механіки, фізики та інших областей. Деякі застосування в економіці.

План

Маса плоскої лінії

Статичні моменти і центр ваги

Обчислення моментів інерції

Обчислення роботи

Деякі задачі прикладного характеру

1. Застосування інтегрального числення у фізиці,

механіці, техніці

1.1. Маса плоскої лінії

. Звідки

.

 (саме цей випадок тут і розглядатиметься), то

,                               (10.13)   

.

звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої

                            (10.14)

1.2. Статичні моменти і центр ваги

.

Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система
матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто
знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система
матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про
статичний момент відносно площини.

 – відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться
точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться,
наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).

 

Отже,

  (10.15)

,

Звідси

           (10.16)

Розглянемо тепер питання про знаходження центра ваги плоскої фігури,
густина маси якої

                                                     Рис.10.11

. Отже,

 Остаточно маємо

                   (10.18)

, матимемо

(друга теорема Гюльдіна).

 . Легко перевірити , що об’єм тіла обертання

1.3. Обчислення моментів інерції

 визначається так:

 дана сума має границю і ця границя, що виражає визначений інтеграл, і
визначає момент інерції матеріальної лінії відносно початку координат:

           (10.19)

 :

                      (10.20)

                             (10.21)

  

  і

                                  (10.22)

            Можна, наприклад, обчислити момент інерції стрижня відносно
його середини

то момент інерції кола буде

                                       (10.23)

 буде

Момент інерції

цієї маси відносно центра дорівнює

              

                                                     Рис.10.12

одержимо момент інерції круга відносно центра:

отримаємо

                                        (10.24)

, відносно його осі виражається формулою (10.24).

1.4. Обчислення роботи

при переміщенні точки У випадку, коли сила постійна за величиною на
всьому шляху, то робота, яку виконує ця сила дорівнює добутку сили на
переміщення.

( величина її) неперервно змінюється в залежності від положення
матеріальної точки, тобто

наповнений водою (рис.10.13). Яку роботу необхідно виконати, щоб
викачати з нього воду?

  звідки

 Тоді

                        Рис.10.13

 Тоді                                     

                                                       

Інтегруючи останню рівність, одержимо

 за робочий день тривалістю 8 годин, якщо продуктивність праці на
протязі дня змінюється за емпіричною формулою

год, а потім падає.

можна виразити означеним інтегралом:

множник, що має розмірність одиниці продукції.

                                        Рис. 10.14

Похожие записи