РЕФЕРАТ
На тему:
Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом
, і не залежать від того, коли і як саме система набула цього стану.
У реальному світі марковські процеси трапляються дуже рідко. Здебільшого
доводиться стикатися з процесами, які лише наближено можна вважати
марковськими.
А тому, припускаючи, що досліджуваний процес є марковським,
скористаємося математичним апаратом дослідження марковських процесів.
Теорію марковських процесів із дискретними станами і неперервним часом
застосовують до систем, в яких можуть відбуватися переходи з одного
стану до іншого під впливом зовнішніх випадкових збурень, котрі, як
правило, вважають пуассонівськими.
1. Пуассонівський процес
Математичні моделі, які вивчатимуться в наступних темах, пов’язані
переважно з пуассонівськими потоками подій. При цьому ставляться певні
умови, які мають бути виконані, задовольняючи низку обов’язкових
властивостей.
Для пуассонівського потоку ймовірність появи випадкової події k раз
протягом проміжку часу t обчислюється за формулою:
(133)
— інтенсивність потоку.
Тоді зі (133) випливає: ймовірність того, що за час t жодна з подій не
настане, подається у вигляді
(134)
а ймовірність настання однієї події за час t — у вигляді
(135)
Тоді ймовірність настання за час t більш як однієї події буде така:
Розклавши в ряд функцію
дістанемо відповідно
(136)
, (137)
. (138)
нескінченно малі, а тому формули (136)—(138) набирають такого вигляду:
(139)
(140)
(141)
Ця властивість пуассонівського процесу (потоку) вельми важлива для
багатьох практичних його застосувань.
відповідно дістаємо:
(142)
(143)
(144)
де
а також
(145)
несумісні й утворюють повну групу.
не настане жодна з подій, можна подати, як показано на рис. 21.
Рис. 21
Оскільки ці події незалежні, виконується рівність
або
. (146)
дістаємо (рис. 22):
Рис. 22
), маємо:
або
.
є величиною нескінченно малою:
причому
Тому
(сума нескінченно малих величин також нескінченно мала).
Беручи до уваги (142) і (144), дістаємо систему:
(147)
яку можна подати у вигляді
або
(148)
, дістанемо:
то виконуються такі співвідношення:
від системи (148) переходимо до системи
(149)
яку називають системою диференціально-різницевих рівнянь.
Цю систему розв’язують методом імовірнісних твірних функцій.
називають збіжний степеневий ряд виду
(150)
маємо:
Тоді дістанемо
Отже,
Аналогічно знаходимо:
(151)
Зауважимо, що виконуються такі рівності:
(152)
(153)
), дістанемо:
(154)
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи (154):
(155)
Далі, підсумувавши (154) за k, запишемо:
(156)
або з урахуванням (152) і (156):
(157)
Розв’язуючи це рівняння, маємо:
. (158)
Тепер, скориставшись (151), дістанемо:
PAGE 1
t
0
t
Р0(t)
Р0((t)
0
t
t
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
