РЕФЕРАТ

На тему:

Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом

, і не залежать від того, коли і як саме система набула цього стану.

У реальному світі марковські процеси трапляються дуже рідко. Здебільшого
доводиться стикатися з процесами, які лише наближено можна вважати
марковськими.

А тому, припускаючи, що досліджуваний процес є марковським,
скористаємося математичним апаратом дослідження марковських процесів.

Теорію марковських процесів із дискретними станами і неперервним часом
застосовують до систем, в яких можуть відбуватися переходи з одного
стану до іншого під впливом зовнішніх випадкових збурень, котрі, як
правило, вважають пуассонівськими.

1. Пуассонівський процес

Математичні моделі, які вивчатимуться в наступних темах, пов’язані
переважно з пуассонівськими потоками подій. При цьому ставляться певні
умови, які мають бути виконані, задовольняючи низку обов’язкових
властивостей.

Для пуассонівського потоку ймовірність появи випадкової події k раз
протягом проміжку часу t обчислюється за формулою:

(133)

— інтенсивність потоку.

Тоді зі (133) випливає: ймовірність того, що за час t жодна з подій не
настане, подається у вигляді

(134)

а ймовірність настання однієї події за час t — у вигляді

(135)

Тоді ймовірність настання за час t більш як однієї події буде така:

Розклавши в ряд функцію

дістанемо відповідно

(136)

, (137)

. (138)

нескінченно малі, а тому формули (136)—(138) набирають такого вигляду:

(139)

(140)

(141)

Ця властивість пуассонівського процесу (потоку) вельми важлива для
багатьох практичних його застосувань.

відповідно дістаємо:

(142)

(143)

(144)

де

а також

(145)

несумісні й утворюють повну групу.

не настане жодна з подій, можна подати, як показано на рис. 21.

Рис. 21

Оскільки ці події незалежні, виконується рівність

або

. (146)

дістаємо (рис. 22):

Рис. 22

), маємо:

або

.

є величиною нескінченно малою:

причому

Тому

(сума нескінченно малих величин також нескінченно мала).

Беручи до уваги (142) і (144), дістаємо систему:

(147)

яку можна подати у вигляді

або

(148)

, дістанемо:

то виконуються такі співвідношення:

від системи (148) переходимо до системи

(149)

яку називають системою диференціально-різницевих рівнянь.

Цю систему розв’язують методом імовірнісних твірних функцій.

називають збіжний степеневий ряд виду

(150)

маємо:

Тоді дістанемо

Отже,

Аналогічно знаходимо:

(151)

Зауважимо, що виконуються такі рівності:

(152)

(153)

), дістанемо:

(154)

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи (154):

(155)

Далі, підсумувавши (154) за k, запишемо:

(156)

або з урахуванням (152) і (156):

(157)

Розв’язуючи це рівняння, маємо:

. (158)

Тепер, скориставшись (151), дістанемо:

PAGE 1

t

0

t

Р0(t)

Р0((t)

0

t

t

Похожие записи