РЕФЕРАТ

на тему:

“Лінійний векторний простір”

називаються HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%EE%EE%F0%E4
%E8%ED%E0%F2%E0%EC%E8%20%E2%E5%EA%F2%EE%F0%E0» координатами вектора .

.

(скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірний
HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=eWKLIDOWO_PROST
RANSTWO» евклідовий простір.

). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції
безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні,
також утворять безкінечномірні векторні простори.

У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на
число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури
(наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи
елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових
властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний
векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:

будь-якій парі елементів х и у з L зіставлений єдиний елемент z,
називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L;

і приналежний L;

операції додавання і множення на число є асоціативними і
дистрибутивними.

.

називають полем скалярів L. Поняття векторного простору можна ввести і
для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.

підмножини S з L називається системою утворюючих S, якщо будь-який
вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів.
Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S, якщо
розкладання будь-якого елемента S по цій системі єдино.

Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається
системою координат у S. Базис векторного простору завжди існує, хоча і
не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n
елементів, то векторний простір називається n-мірним (конечномірні);
якщо базис — нескінченна безліч, той векторний простір називається
безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких
мається рахунковий базис.

. Для кінцевого сімейства підпросторів S1, …, Ss сукупність усіх
векторів, які представлені у виді

. Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих
підпросторів складається тільки з HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%ED%F3%EB%E5%E2
%EE%E3%EE%20%E2%E5%EA%F2%EE%F0%E0» нульового вектора. HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%D0%E0%E7%EC%E5
%F0%ED%EE%F1%F2%FC» Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі
розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання.
Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо існує взаємно
однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в
них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову
розмірність.

.

Основні фізичні приклади — простору векторів станів різних систем
мікрочастинок, досліджуваних у HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2
%EE%E2%EE%E9%20%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E5» квантовій механіці,
HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2
%EE%E2%EE%E9%20%F1%F2%E0%F2%E8%F1%F2%E8%F7%E5%F1%EA%EE%E9%20%F4%E8%E7%E8
%EA%E5» квантовій статистичній фізиці і HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2
%EE%E2%EE%E9%20%F2%E5%EE%F0%E8%E8%20%EF%EE%EB%FF» квантовій теорії
поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле
скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так,
гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з
формулювань HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2
%EE%E2%EE%E9%20%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E8» квантовой механики , а
гільбертовий простір над полем октоніонов — в одній з формулювань
HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2
%EE%E2%EE%E9%20%F5%F0%EE%EC%EE%E4%E8%ED%E0%EC%E8%EA%E8» квантової
хромодинаміки. У сучасних HYPERLINK
«http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%F2%E5%EE%F0%E8
%FF%F5%20%F1%F3%EF%E5%F0%F1%E8%EC%EC%E5%F2%F0%E8%E8» теориях
суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані
векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим
розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.

Використана література:

Векторний простір. – М., 1992.

Вища математика в прикладах. – К., 1998.

Математична енциклопедія. – М., 1983.

Похожие записи