з дисципліни: „Вища математика”

Розділ 6: „Диференціальні рівняння”

на тему:

„Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Задача Коші.”

1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього
загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь
із сталими коефіцієнтами.

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими
коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

1

дійсні числа.

в рівняння 1, дістанемо

то

2

буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається
характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.

можливі три випадки:

);

;

Розглянемо кожен випадок окремо.

.

.

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:

,знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

маємо

в рівняння 1, дістанемо:

або

.

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

3

.

та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:

або

), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

— лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

.

Приклад 1:

.

Розв’язання :

шуканий розв’язок має вигляд:

.

Приклад 2:

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:

.

Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння
із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

4

.

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного

розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного
рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку
неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального
неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації
довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною
розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції
інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

, 5

.

Можливі такі випадки:

не є коренем характеристичного рівняння

6 Тоді
диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду

— невизначені коефіцієнти.

дістанемо

.

цього рівняння;

збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є
простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба
шукати у вигляді

;
9

є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4
шукають у вигляді

.

Об’єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5,
то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

,

.

ІІ. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

, 9.1

— дійсні числа.

Частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

, 9.2

.

Зокрема, якщо права частина рівняння 4 має вигляд

,

— відомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба
шукати у вигляді

,

.

Приклад:

.

і підставивши їх у рівняння дістанемо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

,

.Отже частинний розв’язок даного рівняння має вигляд

, тому

шуканий загальний розв’язок.

-го порядку.

Застосуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь
другого порядку до рівнянь вищих порядків.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку

— сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння 10 називається алгебраїчне рівняння n-го
степеня виду

11

— невідоме дійсне чи комплексне число.

.

.

частинних розв’язків виду

Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно незалежними.
І загальний розв’язок рівняння 10 знаходиться за формулою

.
12

-го порядку

— неперервна на деякому проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння 13 є
функція

— частинний розв’язок рівняння 13.

застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13
суть цього методу така.

, тобто покладемо

— невідомі функції.

Складемо систему рівнянь

— довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв’язок.

Приклад:

.

. Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо за формулою 12:

.

ПЛАН

1. Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Контрольні питання:

1.Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого
порядку із сталими коефіцієнтами ?

2.Яке рівняння називається характеристичним? Як його знаходять?

3. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного
рівняння дійсні і різні?

4. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного
рівняння дійсні рівні?

5. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного
рівняння комплексні?

6. Для яких диференціальних рівнянь застосовується метод підбору?

-го порядку із сталими коефіцієнтами?

-го порядку із сталими коефіцієнтами?

Література:

Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економісті .
-.,2002.

Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. — К.: А.С.К.,
2001.

Похожие записи