з дисципліни: „Вища математика”
Розділ 6: „Диференціальні рівняння”
на тему:
„Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Задача Коші.”
1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього
загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь
із сталими коефіцієнтами.
Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими
коефіцієнтами.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку
1
дійсні числа.
в рівняння 1, дістанемо
то
2
буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається
характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.
можливі три випадки:
);
;
Розглянемо кожен випадок окремо.
.
.
ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:
,знайдемо розв’язки
За формулою Ейлера
маємо
в рівняння 1, дістанемо:
або
.
Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки
тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді
3
.
та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:
або
), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:
– лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:
.
Приклад 1:
.
Розв’язання :
шуканий розв’язок має вигляд:
.
Приклад 2:
Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:
.
Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння
із спеціальною правою частиною.
Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння
4
.
Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного
розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного
рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку
неоднорідного рівняння.
Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального
неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації
довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною
розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції
інтегрування.
Розглянемо деякі з таких рівнянь.
І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд
, 5
.
Можливі такі випадки:
не є коренем характеристичного рівняння
6 Тоді
диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду
– невизначені коефіцієнти.
дістанемо
.
цього рівняння;
збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є
простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба
шукати у вигляді
;
9
є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4
шукають у вигляді
.
Об’єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5,
то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді
,
.
ІІ. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд
, 9.1
– дійсні числа.
Частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді
, 9.2
.
Зокрема, якщо права частина рівняння 4 має вигляд
,
– відомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба
шукати у вигляді
,
.
Приклад:
.
і підставивши їх у рівняння дістанемо
.
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь
,
.Отже частинний розв’язок даного рівняння має вигляд
, тому
шуканий загальний розв’язок.
-го порядку.
Застосуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь
другого порядку до рівнянь вищих порядків.
Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку
– сталі дійсні числа.
Характеристичним для рівняння 10 називається алгебраїчне рівняння n-го
степеня виду
11
– невідоме дійсне чи комплексне число.
.
.
частинних розв’язків виду
Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно незалежними.
І загальний розв’язок рівняння 10 знаходиться за формулою
.
12
-го порядку
– неперервна на деякому проміжку функція.
Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння 13 є
функція
– частинний розв’язок рівняння 13.
застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13
суть цього методу така.
, тобто покладемо
– невідомі функції.
Складемо систему рівнянь
– довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв’язок.
Приклад:
.
. Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо за формулою 12:
.
ПЛАН
1. Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Контрольні питання:
1.Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого
порядку із сталими коефіцієнтами ?
2.Яке рівняння називається характеристичним? Як його знаходять?
3. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного
рівняння дійсні і різні?
4. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного
рівняння дійсні рівні?
5. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного
рівняння комплексні?
6. Для яких диференціальних рівнянь застосовується метод підбору?
-го порядку із сталими коефіцієнтами?
-го порядку із сталими коефіцієнтами?
Література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економісті .
-.,2002.
Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К.,
2001.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
