Пошукова робота на тему:

Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне
відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису.
Ортогональна матриця.

План

Лінійні простори.

Основні поняття.

Лінійна залежність. Базис.

Лінійні відображення і перетворення.

Перетворення матриці відображення при заміні базису.

4.3. Лінійні простори

4.3.1. Основні поняття

            Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми
ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення
матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними
операціями з векторами.

            В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають
одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання,
дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і
т.д.  Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені
операції, що мають такі ж властивості.

            Природно виникає необхідність дослідити множину, що
складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції
додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції
можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір
властивостей.

називається лінійним простором, а його елементи – векторами, якщо:

який називається сумою.

виконуються такі вимоги (аксіоми):

 такий, що

називається комплексним.

 називається нульовим вектором або нулем.

 функції утворюють лінійний простір.

 буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того
чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.

Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору

Вираз

 

4.3.2. Лінійна залежність. Базис

            Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її
коефіцієнти дорівнюють нулю.

 називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. В
противному випадку, тобто коли існує рівна нулю нетривіальна лінійна
комбінація векторів, система векторів називається лінійно залежною.

 векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із
векторів є лінійною комбінацією інших. Якщо в систему входить нульовий
вектор, то вона є лінійно залежною.

  є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

            Впорядкована система координат – це, коли кожному вектору в
даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи
векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.

            Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за
векторами базису називаються компонентами або координатами вектора в
цьому базисі.

який назвемо координатним стовпчиком вектора.

            Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому
вигляді

                                  (4.10)

            Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються
однозначно.

            Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно
залежні їх координатні стовпчики.

            Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх
координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число
дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.

            Для доведення досить виписати такі рівності:

 векторів, то довільний інший базис в цьому просторі складається із
того ж числа векторів.

Таким чином, наше припущення приводить до протиріччя. Теорема доведена.

— вимірний лінійний простір.

            В нульовому просторі немає базису, оскільки система, що
складається із одного нульового вектора, є лінійно залежною. Розмірність
нульового простору дорівнює нулю.

 лінійно незалежних векторів. Такий простір називається
нескінченновимірним. Базису в ньому не існує.

:

                          (4.11)

            Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді

                             (4.12)

 одержимо

 З останньої рівності одержимо:

                                       (4.12)

4.3.3. Лінійні відображення і перетворення

виконуються рівності

            (4.13)

            Із означення випливає, що при лінійному відображенні лінійна
комбінація векторів переходить в таку ж лінійну комбінацію їх образів.

 співпадають.

            Приклади.

            1. При афінному перетворенні простору трьохвимірний 
простір  векторів відображається сам на себе. При цьому сума векторів
переходить в суму образів, а результат множення вектора на число – в
добуток його образу на це ж число. Тому афінне перетворення є лінійним.

 Так побудоване відображення, очевидно, є лінійним.

В силу властивостей множення матриць це відображення буде лінійним.

            4. Відображення, що співставляє кожному вектору нульовий, є
лінійним. Воно називається нульовим відображенням.

 може бути представлений у вигляді

                 (4.14)

 розкладемо за цим базисом

то рівність (4.14) можна переписати так:

Звідси, в силу єдності розкладу за базисом, маємо

                 (4.15)

то рівність (4.15) можна записати в матричній формі

                                       (4.15/)

буде квадратною.

 

За формулою (4.12) маємо

 Оскільки матриця лінійного відображення для даної пари базисів
однозначно визначена, одержимо

                                (4.16)

Формула (4.16) дає зміну матриці лінійного відображення при заміні
базисів.

 і формула (4.16) приймає вигляд

                                 (4.16/)

.

 (відображення,   яке виконується першим, пишеться справа ).

Похожие записи