РЕФЕРАТ
на тему:
Лінійний векторний простір
План
Базис лінійного простору
Основні теореми про базис
Розмірність лінійного простору
Використана література
є лінійною комбінацією векторів цієї системи.
Впорядкована система координат – це, коли кожному вектору в
даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи
векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.
Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за
векторами базису називаються компонентами або координатами вектора в
цьому базисі.
який назвемо координатним стовпчиком вектора.
Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому
вигляді
(4.10)
Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються
однозначно.
Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно
залежні їх координатні стовпчики.
Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх
координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число
дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.
Для доведення досить виписати такі рівності:
векторів, то довільний інший базис в цьому просторі складається із
того ж числа векторів.
Таким чином, наше припущення приводить до протиріччя. Теорема доведена.
– вимірний лінійний простір.
В нульовому просторі немає базису, оскільки система, що
складається із одного нульового вектора, є лінійно залежною. Розмірність
нульового простору дорівнює нулю.
лінійно незалежних векторів. Такий простір називається
нескінченновимірним. Базису в ньому не існує.
:
(4.11)
Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді
(4.12)
одержимо
З останньої рівності одержимо:
(4.12)
Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми
ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення
матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними
операціями з векторами.
В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають
одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання,
дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і
т.д. Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені
операції, що мають такі ж властивості.
Природно виникає необхідність дослідити множину, що
складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції
додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції
можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір
властивостей.
називається лінійним простором, а його елементи – векторами, якщо:
який називається сумою.
виконуються такі вимоги (аксіоми):
такий, що
називається комплексним.
називається нульовим вектором або нулем.
функції утворюють лінійний простір.
Використана література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. – К.,
1997.
Дубовик В.П. Вища математика. – к., 2001.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
