Реферат на тему:

Лінійні неоднорідні системи

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

є

— є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

.

Але тоді і

є розв’язком неоднорідної системи.

є розв’язками лінійних неоднорідних систем

,

— довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

.

— тотожностей

.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

,

буде розв’язком системи

.

, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні
дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи).
Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми
загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного
розв’язку неоднорідної системи.

буде розв’язком неоднорідної системи.

можна розв’язати довільну задачу Коші

.

і система алгебраїчних рівнянь

є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації
довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку
неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом
знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який
називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему

,чи в матричній формі

,

— вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

,

чи

.

— фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то

.

.

Розписавши покоординатно, одержимо

визначаються в такий спосіб

Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

.

Для лінійної неоднорідної системи на площині

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

Нехай

.

Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний
розв’язок неоднорідної шукається у вигляді

Звідси

І загальний розв’язок має вигляд

,

— довільні сталі.

4. Метод невизначених коефіцієнтів

спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом
невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку
зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих
порядків.

, тобто

.

, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

.

, тобто

.

, що входять у загальний розв’язок однорідних систем.

має вид

.

, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

.

, то частинний розв’язок шукається у вигляді

.

.

має вигляд:

, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

, то частинний розв’язок має вигляд

Похожие записи