Реферат на тему:
Лінійні неоднорідні системи
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
чи у векторно-матричному вигляді
називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем
є
– є розв’язком лінійної неоднорідної системи.
Дійсно, за умовою
.
Але тоді і
є розв’язком неоднорідної системи.
є розв’язками лінійних неоднорідних систем
,
– довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи
.
– тотожностей
.
Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо
,
буде розв’язком системи
.
, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.
Дійсно, за умовою
.
Розкривши дужки і перетворивши, одержимо
.
Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні
дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.
Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи).
Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми
загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного
розв’язку неоднорідної системи.
буде розв’язком неоднорідної системи.
можна розв’язати довільну задачу Коші
.
і система алгебраїчних рівнянь
є розв’язком поставленої задачі Коші.
2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації
довільних сталих
Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку
неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом
знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який
називається методом варіації довільної сталої.
Нехай маємо систему
,чи в матричній формі
,
– вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо
,
чи
.
– фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то
.
.
Розписавши покоординатно, одержимо
визначаються в такий спосіб
Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд
.
Для лінійної неоднорідної системи на площині
метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.
Нехай
.
Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний
розв’язок неоднорідної шукається у вигляді
Звідси
І загальний розв’язок має вигляд
,
– довільні сталі.
4. Метод невизначених коефіцієнтів
спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом
невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку
зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих
порядків.
, тобто
.
, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто
.
, тобто
.
, що входять у загальний розв’язок однорідних систем.
має вид
.
, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто
.
, то частинний розв’язок шукається у вигляді
.
.
має вигляд:
, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто
, то частинний розв’язок має вигляд
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter