Реферат на тему:

Лінійна алгебра. Визначники

Означення. Визначником (детермінантом) матриці другого порядку

.

Означення. Визначником (детермінантом) матриці третього порядку

Приклади:

;

.

Означення. Визначником квадратної матриці A розміру n*n називається
число

(1.4)

Сума обчислюється за всіма перестановками (i1,…,in). Величина
inv(i1,…,in) це кількість інверсій перестановки (i1,…,in), тобто
кількість пар (ik,im) таких, що ik>im , проте ik розташоване лівіше
від im .

Легко перевірити, що означення визначника другого та третього порядку
задовольняє загальне означення.

Множина визначників задовольняє такі властивості:

У разі транспонування матриці значення визначника не змінюється:

.

У випадку перестановки двох довільних рядків (або двох довільних
стовпців) знак визначника змінюється на протилежний:

.

Якщо всі елементи одного рядка (стовпця) матриці є пропорційними до
елементів другого рядка (стовпця) цієї матриці, то її визначник дорівнює
нулю:

, оскільки елементи третього рядка

є вдвічі більшими від елементів першого.

Якщо всі елементи рядка (стовпця) помножити на якесь число, то визначник
теж помножиться на це ж число:

.

Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка
(стовпця), помножені на довільне число, то значення визначника не
зміниться:

.

викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

є відповідно мінорами елементів a1, b1 та c1.

Означення. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називається його
мінор, узятий зі знаком (+) або (-) так:

якщо сума (i+j) номерів рядка i та стовпця j є парною, то потрібно взяти
знак (+), якщо ж ця сума непарна – то знак (-).

Для визначника довільного порядку виконується така

Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка
(стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.

Зокрема,

= a11A11+a12A12+…+a1nA1n. (1.5)

.

Згідно з означенням (=2(8(5+5(0(1+3(3((-2)-1(8((-2)-5(3(5-2(0(3=3.

За теоремою (розкладаємо визначник за елементами другого рядка)
отримуємо той самий результат:

( = a21A21+a22A22+a23A23 = a21(-M21)+a22M22+a23(-M23) =

=(-3)(31+8(12+(-0)(1 = 3

Таким способом обчислення визначників високих порядків можна послідовно
зводити до відшукання визначників щораз менших порядків.

Зазначимо також, що функція MDETERM системи EXCEL дає змогу
автоматизувати обчислення визначників досить високих порядків.

Розглянемо довільну (не обов’язково квадратну) матрицю A . Рангом r(A)
цієї матриці називається найвищий порядок її мінора, що не дорівнює
нулю.

має три мінори третього поряду (всі з яких дорівнюють нулю), дев’ять
мінорів другого порядку (з яких деякі дорівнюють нулю, а деякі – ні) та
12 мінорів першого порядку. Отже, для цієї матриці ранг r(A)=2.

у n-вимірному просторі. Ця система називається лінійно залежною, якщо
існують такі числа k1,…km (не всі з яких одночасно дорівнюють нулю:
k12+k22+…+km2>0), що

.

випливає той факт, що k1=k2=…=km=0, то система називається лінійно
незалежною.

.

, тобто

,

виконується тільки при k1 = k2 = 0 .

Легко бачити, що при m > n система векторів завжди є лінійно залежною.

(рис. 1.2):

y

x

Рис. 1.2

Пропорційні вектори завжди лінійно залежні.

. Тоді при k1=3 та k2= -1

.

цієї системи називається базою (базисом), якщо

ця підсистема лінійно незалежна;

кількість елементів k цієї підсистеми є максимально можливою.

.

Приклад. Базисом тривимірного простору R3 є система векторів
{(1;0;0;), (0;1;0), (0;0;1)} .

— квадратна матриця. Власними значеннями (власними числами,
характеристичними числами) цієї матриці називаються такі значення
параметра ( , які задовольняють рівняння |A-((E| =0 , тобто рівняння

(1.6)

.

.

Розв’язуємо це рівняння:

(1-()((4-()-(-1)(2 = 0;

(2 -5(+6=0;

(1 = 2; (2 = 3.

Означення. Квадратна матриця називається додатно визначеною, якщо всі її
власні числа є додатними.

є додатньо визначеною тоді і тільки тоді, коли кожен з її діагональних
мінорів є додатнім:

a11 > 0;

;

. . . . . . . . .

.

є додатно визначеною, оскільки обидва її власні значення (1 =2 та
(2 =3 є додатними. Додатну визначеність цієї матриці можна з’ясуватити
також за допомогою обчислення мінорів:

a11 = 1 > 0;

.

, де ( — власне число матриці A.

, оскільки

.

Похожие записи