Реферат на тему:

Лінійна алгебра. Матриці та вектори.

Означення. Матрицею розміром n*m називається прямокутна таблиця чисел

Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими),
якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні
елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для
всіх значень i та j).

Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю
рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де

cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
(1.1)

Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=k(A
вигляду B=k(A=(k(aij).

Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із
кількістю стовпців (n=m).

Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо

,

тобто ця матриця має вигляд

.

.

, елементи якої обчислюються за формулою

(1.2)

Приклади.

.

.

2. Нехай, крім того,

.

,

D(C — не має сенсу,

Зазначимо, що в останньому прикладі А(В ( В(А .

Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:

Е(А = А(Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);

О(А = А(О = О (властивість множення на нульову матрицю);

k(O = O(k = O A+O = O+A =A;

(((A) = ((()A; (A()( = A((();

A+B = B+A (комутативна властивість додавання);

A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);

((+()A = (A+(A;

((AB) =((A)B;

(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.

.

Виконуються такі властивості:

(AB)T = BTAT;

((A+(B)T = (AT+(BT;

(AT)T = A.

.

Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення
матриць:

,

.

Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для
виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1,
d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:

Вироби Кількість вузлів

Вузли Кількість деталей

v1 v2

d1 d2 d3

W1 2 3

v1 2 1 0

W2 1 4

v2 1 0 3

Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із
виробів W1 та W2.

На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей
облислюється як добуток матриць

.

Отриманий результат такий:

Вироби Кількість деталей

d1 d2 d3

W1 7 2 9

W2 6 1 12

Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.

Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне
замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:

Таблиця A

Виріб Затрати робочого часу на робочих місцях, год.

1 2 3 4

W1 0,8 2,1 1,2 3,0

W2 1,3 0,5 2,8 0,2

W3 1,1 1,0 2,5 1,8

Таблиця B

Замовлення Кількість виробів

W1 W2 W3

Z1 5 7 3

Z2 4 0 2

Z3 6 2 1

Таблиця C

Робоче місце Погодинна заробітна плата, грн.

1 1,30

2 1,25

3 1,40

4 1.45

Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих
місцях щодо кожного замовлення:

Замовлення Затрати робочого часу на робочих місцях, год.

1 2 3 4

Z1 16,4 17 33,1 21,8

Z2 5,4 10,4 9,8 15,6

Z3 8,5 14,6 15,3 20,2

.

Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо
витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:

Замовлення Витрати на зарплату

Z1 120,52

Z2 56,36

Z3 80,01

Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:

.

Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на
рисунку 1.1 :

Виріб

4 3 10 15

Комплектуюча Комплектуюча Деталь
Деталь

K1 K2 D1
D2

2 3 4 5

D1 D2 D1 D2

Рис. 1.1.

Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.

Побудуємо відповідні матриці.

. Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.

.

Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою

.

Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі
D2 .

Означення. Нехай A=(aij)i=1,…,n;j=1,…,n — квадратна матриця. Оберненою
до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце

A(A-1=A-1(A=E .

Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.

Приклад.

.

Справді,

,

.

За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних
рівнянь, оскільки запис

є рівнозначний до запису

знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену
матрицю A-1 :

,

,
(1.3)

.

Відшукання оберненої матриці досить складна математична задача. Проте
дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема,
в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою
так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць –за допомогою
функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від
звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш –
Shift, Ctrl та Enter).

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Барковський В., Барковська Н. Математика для економіста. – К., 1997.-
Т.1-3.

Бугір М. Математика для економістів. – Тернопіль, 1998.

Михайленко В., Федоренко Н. Математичний аналіз для економістів. – К.,
1999.

Нікбахт Е., Гроппелі А. Фінанси. — К., 1993.

Nicholson R.N. Mathematics for Business and Economics. — 1986.

Завада О. Методичні вказівки до виконання контрольних робіт

з курсу “Математика для економіста”. – Львів, 2000.

Похожие записи