Реферат на тему:

Лінії на площині

Означення. Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням деякої лінії в
заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х,
у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють
координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

2.2.1. Пряма лінія на площині

Рис. 2.14

Нехай задано деяку пряму (рис. 2.14), знайдемо її рівняння.

Точка М (х, у) лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується
умова

.

Позначимо tg ( = k і назвемо цю величину кутовим коефіцієнтом прямої
лінії. Тоді, враховуючи, що NM = y – b, BN = x, маємо рівняння прямої з
кутовим коефіцієнтом

у = kx + b. (2.14)

Нехай деяка точка М1 (х1, у1) належить заданій прямій, тоді у1 = kx1 +
b. Знайдемо з цього рівняння значення b і, підставивши його в рівняння
прямої (2.14), дістанемо:

у – у1 = k (х – х1) (2.15)

— рівняння прямої, що проходить через задану точку М1 (х1, у1).

Нехай ще одна точка М2 (х2, у2) також належить заданій прямій, тоді з
означення лінії маємо:

у2 – у1 = k (x2 – x1).

Знайдемо значення k з останнього співвідношення і, підставивши його в
рівняння прямої (2.15), дістанемо:

. (2.16)

Останнє рівняння (2.16) називається рівнянням прямої, що проходить через
дві задані точки.

У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого
степеня відносно х і у.

Ах + Ву + С = 0, (2.17)

і навпаки, рівняння (2.17) при довільних А, В, С (А і В одночасно не
дорівнюють нулю) визначає деяку пряму в прямокутній системі координат
Оху.

Рівняння (2.17) називається загальним рівнянням прямої лінії. Дослідимо
це рівняння.

1. С = 0, А ( 0, В ( 0, тоді Ах + Ву = 0 і останнє визначає пряму, що
проходить через початок системи координат, бо точка О (0, 0) лежить на
цій прямій.

, де а — довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама
вона розміщена паралельно осі Оу, якщо С = 0, то х = 0 маємо рівняння
самої осі Оу.

, де b — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох, при с = 0 маємо

у = 0 — рівняння осі Ох.

2.2.2. Кут між двома прямими,

відстань від точки до прямої

Розглянемо дві прямі l1: у = k1x + b1 і l2: y = k2 x + b2.

Означення. Кутом між прямим l1 і l2 називається такий кут (, поворот на
який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення
цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Рис. 2.15

. Остаточно

. (2.18)

Якщо кут ( — це кут між l1 і l2, то кут між l2 і l1 дорівнюватиме ( – (.

З формули (2.18) легко дістати умови паралельності і перпендикулярності
двох прямих.

Так, коли l1 // l2, кут ( між ними дорівнює нулю — маємо:

tg ( = 0 ( k1 = k2.

.

Підставляючи значення кутових коефіцієнтів, маємо:

.

Нехай задано деяку точку М0 (х0, у0) і пряму l: Ах + Ву + С = 0.
Пересвідчимось, що М0 не лежить на прямій, Ах0 + Ву0 + С ( 0, тоді
відстань від точки М0 (х0, у0) до прямої Ах + Ву + С = 0 можна знайти за
формулою:

.

2.2.3. Криві другого порядку

Розглянемо тепер лінії другого порядку, які на площині в загальному
випадку можна записати так:

а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0. (2.19)

Рівняння (2.19) описує всі криві другого порядку в загальному випадку.
Спинимось спочатку на простіших, так званих канонічних рівняннях ліній
другого порядку.

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від
двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що
дорівнює 2а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

Рис. 2.16

На рис. 2.16 зображено F1 (–c, 0),

причому 2с < < 2a ( a > c.

Тоді

(2.20)

канонічне рівняння еліпса, де b2 = а2 – с2.

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять в рівняння (2.20).
Якщо х = 0, у = ( b, тобто точки (0, b) і (0, – b) є точками перетину
еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса.
При у = 0, х = ( а і відповідно (а, 0);

(– а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а —
велика піввісь еліпса. З парності виразу (2.20) за х і за у випливає
симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу. На рис. 2.16 зображено еліпс.

маємо коло, якщо ( наближається до одиниці, то відношення довжини
півосей еліпса стає малим, тобто еліпс витягується вздовж осі Ох.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці
відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною
сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається
гіперболою.

.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, де b2 = c2 – a2.

Рис. 2.17

Дослідимо здобуте рівняння. Гіпербола не перетинає вісь Оу. При у = 0;

х = ( а і точки (–а, 0); (а, 0) — точ-

f

h

l

n

r

t

I

?

?

o

Z

?

« f

?

& +D© gd|{x < > D F t ’ ” ? ae e i ? oe o ue

Z

\

d

f

h

n

r

x

~

?

°

?

?

?

?

1/4

A

A

Ae

gd|{x

gd|{x

, які далі називатимемо асимптотами гіперболи. Враховуючи симетрію
відносно осей Ох і Оу, будуємо графік гіперболи, який зображено на
рис. 2.17.

Відрізки завдовжки b і а називають відповідно уявною і дійсною осями
гіперболи.

.

З останньої рівності випливає, що для гіперболи ексцентриситет
характеризує ступінь нахилу віток гіперболи до осі Ох.

. Тобто директриси гіперболи розміщені симетрично відносно осі Оу і
лежать між вітками гіперболи.

.

Розглянуте твердження можна покласти в основу означення цих ліній.

Означення. Множина точок, для яких відношення відстаней від фокуса і до
відповідної директриси — величина стала, що дорівнює ексцентриситету (,
є еліпс, якщо ( < 1, і гіпербола, якщо ( > 1.

Рис. 2.18

Парабола. Означення. Множина точок площини, що містяться на однаковій
відстані від даної точки фокуса

і даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою,
є парабола.

За означенням r = d, отже (див. рис. 2.18):

або у2 = 2рх

— канонічне рівняння параболи, коли ( = 1. Парабола симетрична осі Ох,
проходить через початок системи координат. Її графік подано на рис.
2.18.

Рис. 2.19

Коло. До кривих другого порядку належить і добре відома лінія, яка
називається колом (рис. 2.19).

.

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо:

(х – а)2 + (у – b)2 = R2 (2.21)

— канонічне рівняння кола. Тут (а, b) — координати центра кола, R — його
радіус. Розкривши дужки в лівій частині (2.21), дістанемо, очевидно,
рівняння другого степеня, тобто коло — також крива другого порядку.

2.2.4. Дослідження загального рівняння

кривої другого порядку

У попередньому підрозділі знайдено рівняння ліній другого порядку в
канонічному вигляді. Покажемо, як із загального рівняння кривої другого
порядку

а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0 (2.22)

дістати канонічне рівняння і визначити тип ліній.

Зробимо заміну змінних за формулами:

.

Якщо координати нового центра визначаються за формулами:

,

то в рівнянні (2.22) зникають лінійні відносно х і у члени і воно
набирає вигляду

(2.23)

, то лінія другого порядку називається центральною кривою. Тут

, а12 = а21, а31 = а13, а32 = а23 .

на деякий кут (. З рівняння (2.3), наведеного на с. 77, маємо:

у (2.23), дістанемо:

,

де

,

,

.

(а11 – а22) sin 2( = 2a12 cos 2 (.

. Якщо а11 ( а22, то

. (2.24)

, дістанемо канонічну форму рівняння кривої другого порядку:

.

Остаточно здобуті результати можна звести в таблицю:

Гіпербола Дійсні прямі, що перетинаються

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи