Реферат на тему:
Критерій інтегрованості функцій
Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння,
отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке
вже можна легко інтегрувати.
.
Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве
рівняння
,
яке є першим інтегралом системи.
-вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих
перших інтегралів
і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.
Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є
використання систем у симетричному вигляді.
Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі
можна переписати у вигляді
.
рівнозначні.
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
,
називається системою у симетричному вигляді.
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто
використовується властивість “пропорційності”. А саме, для систем в
симетричному вигляді справедлива рівність
.
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в
квадратурах.
1) Рівняння вигляду
.
-раз одержимо загальний розв’язок у вигляді
.
Якщо задані умови Коші
,
то розв’язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
, одержимо
.
Проінтегрувавши його, маємо
.
-порядку
-раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
, одержуємо
. Проінтегрувавши, маємо
.
-порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
-раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв’язати відносно старшої похідної
.
й одержимо
.
Перепишемо його у вигляді
.
Проінтегрувавши, маємо
,
,
або
.
-порядку
і повернулися до третього випадку.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter