Реферат на тему:

Критерій інтегрованості функцій

Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння,
отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке
вже можна легко інтегрувати.

.

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве
рівняння

,

яке є першим інтегралом системи.

-вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих

перших інтегралів

і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є
використання систем у симетричному вигляді.

Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі

можна переписати у вигляді

.

рівнозначні.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

,

називається системою у симетричному вигляді.

При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто
використовується властивість “пропорційності”. А саме, для систем в
симетричному вигляді справедлива рівність

.

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в
квадратурах.

1) Рівняння вигляду

.

-раз одержимо загальний розв’язок у вигляді

.

Якщо задані умови Коші

,

то розв’язок має вигляд

2) Рівняння вигляду

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

, одержимо

.

Проінтегрувавши його, маємо

.

-порядку

-раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді

3) Рівняння вигляду

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

, одержуємо

. Проінтегрувавши, маємо

.

-порядку

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо

-раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді

4) Нехай рівняння вигляду

можна розв’язати відносно старшої похідної

.

й одержимо

.

Перепишемо його у вигляді

.

Проінтегрувавши, маємо

,

,

або

.

-порядку

і повернулися до третього випадку.

Похожие записи