Реферат на тему:

Комплексні числа

Походження комплексних чисел

Спочатку люди знали лише натуральні числа 1, 2, 3, …, використовувані
для лічби предметів. Під час розв’язування рівнянь першого степеня виду

виникли раціональні та від’ємні числа. Спочатку за використання
від’ємних чисел у багатьох країнах призначалася смертна кара. Згодом
було дано наочне пояснення від’ємних чисел. Кожному числу було
поставлено у відповідність точку на числовій осі, причому додатним
числам відповідали точки, розміщені на числовій осі праворуч від початку
відліку, а від’ємним числам — точки, розміщені на числовій осі ліворуч
від початку відліку.

Зі складними проблемами математики стикнулися при розв’язуванні
квадратних рівнянь. Так, при розв’язуванні рівняння виду

— натуральні числа, для багатьох математиків стало особистою
трагедією.

При розв’язуванні рівняння

стали називати комплексними. Квадратне рівняння

має комплексні розв’язки

.

з комплексними коефіцієнтами

комплексних розв’язків.

можна подавати точками на площині.

Комплексні числа набули загального поширення. Без них не можна було
виконувати інженерні та економічні розрахунки, і тому комплексні числа
ввійшли в шкільні програми для обов’язкового вивчення в усіх країнах
світу.

Зауважимо, що всі функції, розглядувані в шкільному курсі математики,
можна обчислити для комплексних значень аргументу. Дійсні числа є
частинним випадком комплексних чисел.

Означення комплексних чисел

.

— дійсні числа, називається комплексним числом.

називається уявною частиною числа z.

Два комплексних числа

.

Для комплексних чисел не має сенсу їх порівняння, а отже, не мають сенсу
відношення «більше» та «менше».

називаються комплексно-спряженими.

, яку називають комплексною площиною (рис. 1).

Рис. 1

містяться на комплексній площині симетрично відносно дійсної осі.

Приклад. Розв’язати квадратне рівняння

Дискримінант даного рівняння менший від нуля:

,

а отже, це рівняння не має дійсних розв’язків. Знаходимо комплексні
розв’язки:

.

Ці розв’язки — комплексно-спряжені числа. (

(рис. 2).

Рис. 2

.

.

Згідно з рис. 2 маємо:

;

. (1)

.

Знайти модуль і аргумент кожного з цих чисел.

;

;

;

.(

у вигляді:

. (2)

При цьому маємо:

,

.

; 3) 2і; 4) –3; 5) –4і; 6) 4 + 3і.

;

;

;

;

;

.

Застосуємо поняття модуля та аргументу комплексного числа для задання
деяких ліній.

задає коло одиничного радіуса із центром у початку координат (рис. 3).

Рис. 3

(рис. 4).

® ° ? O O Oe ?

?

® O 2

gd)~AE

ju

&

&

F

Рис. 4

.

.

Дії з комплексними числами

.

:

.

.

. Отже, маємо:

.

.

Добуток комплексно-спряжених чисел завжди являє собою дійсне невід’ємне
число:

.

3. Ділення комплексних чисел. Якщо дільник с — дійсне число, то

.

, то ділення записують у вигляді дробу і знаменник множать на
комплексно-спряжене число:

.

.

4. Добування квадратного кореня. Шукаємо значення

.

Дістаємо систему алгебраїчних рівнянь:

.

Далі розв’язуємо таку систему рівнянь:

.

мають різні знаки.

Остаточно знаходимо формулу:

.

Приклад. Розв’язати квадратне рівняння

.

.

.

Розв’язуємо системи рівнянь:

.

Дістаємо нову систему рівнянь:

.

Остаточно знаходимо розв’язок:

.

Дії з комплексними числами у тригонометричній формі

1. Множення. Дано два комплексних числа

.

Знаходимо їхній добуток:

(1)

Отже, маємо правило: модуль добутку дорівнює добутку модулів
співмножників; аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

2. Ділення. Як і раніше, дістаємо:

.

Отже, модуль відношення чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел;
аргумент відношення дорівнює різниці аргументів чисельника і знаменника.

3. Піднесення до степеня. З формули (1) одержимо формулу

.

формулу Муавра:

. (2)

формула (2) набирає вигляду:

.

Звідси знаходимо відомі формули:

.

маємо

,

звідки дістаємо:

.

-го степеня. Запишемо таку рівність:

,

-го степеня:

,

.

Дістаємо формулу:

(3)

.

Усі значення коренів

.

рівних частин.

.

Згідно з формулою (3) маємо:

.

У результаті знаходимо всі чотири розв’язки рівняння:

;

.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

y

y

z = a + ib

z* = a – ib

х

х

– y

y

y

z = х + iy

(

х

х

0

(

y

i

1

х

y

i

z = 1 + i

х

Похожие записи