.

Комплексні числа (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
412 4612
Скачать документ

Реферат на тему:

Комплексні числа

Поняття комплексних чисел

, де a, b — дійсні числа, і2 = – 1. Число а називається дійсною
частиною, bi — уявною частиною, і — уявною одиницею. Множина комплексних
чисел позначається С.

.

Означення. Два комплексних числа a + bi і a1 + b1i вважаються рівними в
тому і тільки в тому випадку, якщо a = a1 і b = b1.

Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них
вважати більшим.

6.1.2. Дії з комплексними числами

Додавання: (a + bi) + (a1 + b1і) = (a + a1) + (b + b1)i.

Віднімання: (a + bi) – (a1 + b1i) = (a – a1) + (b – b1)i.

Множення: (a + bi)(a1 + b1i) = aa1 + a1bi + ab1i + bb1i2 = (aa1 –

– bb1) + (a1b + ab1)i.

Ділення:

Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до
степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і2 треба вважати таким, що
дорівнює – 1.

і0 = 1 і5 = і4 ( і = і

і1 = і і6 = і5 ( і = – 1

і2 = – 1 і7 = і6 ( і = – 1 ( і = – і

і3 = і2 ( і = – і і8 = і7 ( і = – і ( і = 1

і4 = і3 ( і = – і ( і = 1 і т. п.

Отже, дістали чотири значення, що чергуються:

і; – 1; – і; + 1, тоді:

(а + ib)2 = a2 + 2abi + b2i2 = (a2 – b2) + 2abi,

(а + ib)3 = a3 + 3a2b + 3a(ib)2 + (ib)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3)i і
т. п.

Тоді a + bi = (x2 – y2) + 2xyi.

Отже, маємо:

.

З рівняння 2ху = b випливає, що знаки х та у мають бути однакові, якщо b
> 0, і різні, якщо b 0;

при b ¦ e O - & * 4 6 0. У цьому випадку вираз під коренем додатний. Квадратний
корінь з цього виразу має два значення, і, отже, рівняння має два різні
дійсні корені:

.

.

b2 – 4ac Загальний вигляд алгебраїчного рівняння Означення. Будь-яке рівняння, в якому невідоме пов’язане з даними числами за допомогою скінченного числа шістьох алгебраїчних дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня), можна звести до такого цілого й раціонального вигляду: Axm + Bxm – 1 + Cxm – 2 + ... + Kx + L = 0, (6.9) де коефіцієнти A, B, C, ..., K і L є сталі дійсні або комплексні числа, m є показник степеня рівняння. Деякі коефіцієнти в окремих випадках можуть дорівнювати нулю. Рівняння такого виду називаються алгебраїчними. Алгебраїчні рівняння степеня, вищого від другого, називаються рівняннями вищих степенів. Рівняння вищих степенів становлять предмет вищої алгебри. Елементарна алгебра розглядає тільки окремі види цих рівнянь. Вища алгебра встановлює таку важливу теорему: будь-яке алгебраїчне рівняння має дійсний або комплексний корінь. (Теорема Гаусса). Допустивши це твердження, можна показати, що алгебраїчне рівняння має стільки коренів, дійсних або комплексних, скільки одиниць у показнику його степеня. Тоді рівняння (6.9) можна подати у вигляді: А (х – ()(х – ()(х – () ... (х – () = 0, де всіх різниць: х – (, х – (, ..., буде m. В окремих випадках деякі і навіть усі корені можуть бути однакові. Корисно звернути увагу ще на такі твердження, що їх доводять у вищій алгебрі. . Твердження 2. Якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексні корені, то число цих коренів парне. Твердження 3. Якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має n коренів виду p + qi, то воно має ще n коренів виду p – qi. Твердження 4. Алгебраїчне рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь. Твердження 5. Рівняння з довільними буквеними коефіцієнтами степеня не вище четвертого можна в загальному розв’язати алгебраїчно, тобто для коренів цих рівнянь знайдені загальні формули, складені з коефіцієнтів рівняння за допомогою алгебраїчних дій. Твердження 6. Рівняння з довільними буквеними коефіцієнтами степеня, вищого від четвертого, не можна у загальному розв’язати алгебраїчно, проте, коли коефіцієнти рівняння якого завгодно степеня виражені числами, завжди є змога обчислити з бажаним степенем наближення всі його корені, як дійсні так і уявні. Способи такого обчислення викладаються у вищій алгебрі. ЛІТЕРАТУРА Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с. x y a + ib О b a x y r О а b M A (

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020