.

Кардинальні числа (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
318 1523
Скачать документ

Реферат на тему:

Кардинальні числа

або Card A) будемо називати деякий об’єкт для позначення потужності
будь-якої множини із сукупності S.

Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне
число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин
сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є
узагальненням поняття числа елементів.

Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних
множин.

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири
випадки:

1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і
|A|=|B|.

2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою
власною підмножиною B’ множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A
не менша від потужності множини B і записують |A|(|B|.

3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки,
множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B’ ( B і
B~A’ ( A.

За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому
випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною
підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної
відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї
ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між
собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись
на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого
випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані
між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B
виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|(|B| або |B|(|A|.

Якщо |A|(|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо
|A| |A|.

Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f
між множиною A і підмножиною множини ((A): f = { (a,{a}) | a(A,
{a}(((A)}, то достатньо довести, що множини A і ( (A) нерівнопотужні.

Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно
однозначна відповідність g між множинами A і ((A): g = { (b,B) | b(A і
B(((A)}. У кожній парі відповідності перша координата b – це елемент
множини A, а друга координата B – деяка підмножина множини A. Тому для
кожної пари (b,B)(g виконується одне з двох співвідношень: або b(B, або
b(B. Побудуємо нову множину K = { b | b(A і b(B для (b,B)(g }.

З того, що ((( (A) випливає, що K ((.

Оскільки K є підмножиною множини A (K(((A)), то при взаємно однозначній
відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові k(A, тобто
існує пара (k,K)(g. Тоді відносно елемента k(A і підмножини K(A можливі
дві ситуації: або k(K, або k(K.

Нехай k(K, тоді з умови (k,K)(g і правила побудови множини K випливає,
що k(K.

З іншого боку, якщо припустити, що k(K, то з (k,K)(g і правила побудови
множини K повинно виконуватись k(K.

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно
однозначної відповідності між A і ((A). Таким чином, |A| ( для будь-якого кардинального числа ( ‘ випливає ( ‘ >
2(.

Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися
розв’язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний
американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна
ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже,
прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що
веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020