Реферат на тему:

Історія похідної, функції, інтеграла

Ключовим поняттям математичного аналізу, початки якого вивчають в
школі, є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

Термін “ функція “ вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький
філософі математик Готфрід Вільгельм Лейбіц ( 1646 – 17 16 ) для
характеристики різних відрізків, що сполучають точки деякої кривої.
Перше означення функції, яке вже н було пов’язане з геометричними
уявленнями, сформулював Йоган Бернуллі ( 1667 – 1748 ) у 1718р.
Пізніше, у 1748. дещо уточнене означення функції дав учень Й. Бернулі
Леонард Ейлер ( 1707-1783 ). Ейлеру належить символ функції f ( х ).

В означеннях Бернуллі і Ейлера функцію ототожнювали з аналітичним
виразом, яким вона здається. Ейлер вважав також за можливе задавати
одну й ту саму функцію на різних множинах різними аналітичними виразами.
Ці так звані “ Кусково – задані функції “ широко застосовуються на
практиці.

Вже в часи Ейлера стало зрозумілим, що ототожнення функції з її
аналітичним виразом звужує саме поняття функції, бо, по-перше, одним і
тим же виразом можна задати різні функції, по-друге, не завжди функцію
можна задати аналітично. Вже Ейлер припускав можливість задавання
функції лише графіком.

Дальший розвиток математичного аналізу і практичних застосувань
математики привів до розширення поняття функції. У 1834 р. видатний
російський математик М. І. Лобачевский ( 1792 – 1856 ) сформулював
означення функції, в основу якого було покладено ідею відповідності: “
Загальне поняття вимагає, щоб функцією від х називати число, яке
дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції
може бути задане або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб
випробування всіх чисел і вибору одного з них; або, нарешті, залежність
може існувати і залишатися невідомою “.

Вже через три роки німецький математик Лежен Дріхле (1805 – 1859 )
зробив таке узагальнення поняття функції: “ y є функція змінної x ( на
відрізку a ? x ? b ), якщо кожному значенню x відповідає цілком повне
значення y, причому не має значення, яким чином встановлена ця
відповідність – аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть
просто словами”.

У другій половині x?x ст.. після відкриття теорії множини до означення
функції, крім ідеї відповідності, було залучено ідею множини, а тому
сучасне означення функції формулюють так: “ Відповідність між множинами
x і y, при якій кожному елементу х множина Х відповідає певний елемент у
множини У, називають функцією”.

У xx ст.. відбулося подальше розширення поняття функції, викликане
потребами фізики. У 1930р. англійський фізик Поль Дірак (1902 – 1984 0
ввів поняття так званої “ дельта – функції “, а у 1936р. російський
математик і механік С. Л. Соболєв ( 1908 – 1990 ) ввів більш широке
поняття узагальненої функції, яке охоплює і дельта – функцію.

Отже, поняття функції продовжує розвиватися і розширюватися відповідно
до потреб розвитку математичної науки та її практичних застосувань.

Походження поняття границі, на якому ґрунтується весь математичний
аналіз і корені якого сягають глибокої давнини, пов’язане з обчисленням
площ криволінійних фігур, об’ємів тіл, обмежених кривими поверхнями.
Ідею границі вперше було використано стародавнім грецьким математиком
IV ст. до н.е. Евдоксом Кнідським. Метод Евдокса, який був названий “
метод вичерпування “, використовували Квклід, Архімед та інші вчені
стародавнього світу.

Перше означення границі дав у середині XVII ст. англійський математик
Джон Вал ліс ( 1616 – 1703 ). Але тоді ще не було чіткого розуміння
основних понять, пов’язаних з теорією границь. Зокрема, термін “
нескінченно мала “ розуміли як вказівку на розмір величини, а не
характер її зміни.

Термін “ границя “ і відповідний символ lim вперше було введено
англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном ( 1643 – 1727 ).

Строге означення границі і неперервності функції сформулював у 1823 р.
Французький математик Огюстен Луї Коші ( 1789 – 1857 ). Означення
неперервності функції ще раніше за Коші сформулював чеський математик
Бернард Больцано ( 1781 – 1848 ). За цим означеннями на базі теорії
дійсних чисел було здійснено строге обґрунтування основних положень
математичного аналізу.

Відкриттю похідно і основ диференціального числення передували роботи
французького математика і юриста П’’єра Ферма ( 1601 – 1665 ), який у
1629 р. Запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень
функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися
на застосування похідних. Цьому сприяли також роботи Рене Декатра (
1596 – 1650 ), який розробив метод координат і основи аналітичної
геометрії. Лише в 1666 р. Ньютон і дещо пізніше Лейбніц незалежно один
від одного побудували теорію диференціального числення. Ньютон прийшов
до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а
Лейбніц, — розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до
кривої. Ньютон і Лейбніц досліджували проблему максимумів і мінімумів
функцій. Зокрема, Лейбніц сформулював теорему про достатню умову
зростання і спадання функції на відрізку.

Ейлер в роботі “ Диференціальне числення “Диференціальне числення “

( 1755р.) розрізняв локальний екстремум і найбільші та найменші
значення функції на певному відрізку. Він перший почав використовувати
грецьку букву ? для позначення приросту аргументу ?X=X2 – X1 і
приросту функції ?Y = Y2 – Y1.

Позначення похідної у ‘ і f ‘( х ) ввів французький математик Жозеф
Луї Лагранж ( 1736 – 1813).

Інтегральне числення і саме поняття інтеграла виникли з потреб
обчислення площ плоских фігур і об’ємів довільних тіл. Ідеї
інтегрального числення беруть свій початок у роботах стародавніх
математиків. Проте це свідчить “ метод вичерпування “ Евдокса, який
пізніше використав Архімед у ІІІ ст. до н. е. Суть цього методу полягала
в тому, що для обчислення площі плоскої фігури і, збільшуючи кількість
сторін многокутника , знаходили границю, до якої прямували площі
ступінчастих фігур. Проте для кожної фігури обчислення границі залежало
від вибору спеціального прийому. А проблема загального методу обчислення
площ і об’ємів фігур залишалась нерозв’язаною. Архімед ще явно не
застосовував загальне поняття границі і інтеграла, хоча в неявному
вигляді ці поняття використовувались.

У XVII ст.. Йоганном Кеплером ( 1571 – 1630 ), який відкрив закони руху
планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда.
Кеплер обчислював площі плоских фігур і об’єми тіл, спираючись на ідею
розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих
частин. З цих частин у результаті додавання складалась фігура, площа
якої відомо і яка дає змогу обчислити площу шуканої. На відміну від
Кеплера, італійський математик Бонавентуро Кавальєрі 9 1598 – 1647 ),
перетинаючи фігуру ( тіло ) паралельними прямими ( площинами ), вважав
їх позбавленнями будь – якої товщини, але додавав ці лінії. В і сторію
математик увійшов так званий “ принцип Кавальєрі “, за допомогою якого
обчислювали площі і об’єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування
пізніше за допомогою інтегрального числення. Для площ плоских фігур
принцип кавальєрі формулювали так: якщо прямі деякого пучка паралельних
прямих перетинають фігури Ф1 і Ф2 рівні.

Ідеї Кеплера та інших вчених стали тим ґрунтом, на якому Ньютон і
Лейбніц відкрили інтегральне числення. Розвиток інтегрального числення
продовжили Ейлер та П. Л. Чебишов ( 1821- 1894 ), який розробив способи
інтегрування деяких класів ірраціональних функції.

Сучасне означення інтеграла як границі інтегральних сум належить Коші.
Символ ? ydx було введено Лейбіцем. Знак ? нагадує розтягнуту S (
першу букву латинського слова SUMMA – “ сума “). Термін ” інтеграл”
походить від латинського INTEGER – “ цілий “ і був запропонований у
1690р. Й. Бернуллі .

Похожие записи