Пошукова робота на тему:

Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади
первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць
неозначених інтегралів.

План

Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції

— ціле, додатне число)

8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій

інтеграл перетворюється в такий :

 нас цікавить не тільки сам по собі, а й  у зв’язку з тим, що й інші
інтеграли зводяться до нього.

тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.

 , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай

 Очевидно, що в цьому випадку її можна подати

то

 

Тому

Звідси випливає така підстановка:

,

.

.

 на

 то доцільною є

.

, тому

, одержимо

.

,                      (8.26)

,

 перетворить інтеграл до вигляду

.

, яку називають універсальною.

 

 зведе інтеграл до вигляду

.

, яка зведе інтеграл до вигляду

.

, то

.

.

.

.

. З її допомогою інтеграл перетвориться в

.

в) Усі інтеграли вигляду

— раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок
випливає з п.9.4.

В результаті матимемо

Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.

— цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули
тригонометрії для пониження степеня:

           (8.27)

 які легко обчислюються.

).

 можна

проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:

          (8.28)     

Далі обчислимо:

Аналогічно

.

е) Усі інтеграли вигляду

 є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що
стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.

Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій
додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого
додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у
вигляді суми двох доданків на основі формул

               (8.29)

. Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.

 – довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.

Цей висновок випливає з п.8.3.8.

— ціле число.

Похожие записи