Реферат з математики

Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей.

Означення 3. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та
знаменник є многочленами. Тобто дріб має вигляд:

де a1 та bk – коефіцієнти многочленів, i = 1,2…,n; k = 1,2…,m.

.

дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за
правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми
многочлена та правильного раціонального дробу, тобто

Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу
називаються правильні дроби вигляду:

означає, що квадратний тричлен х2 + рх + q немає дійсних коренів і на
множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний
тричлен х2 + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від
найпростіших раціональних дробів 1-го та II-го типів знаходять методом
безпосереднього інтегрування:

При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в
знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом,
замінити через нову змінну.

одержимо:

Інтеграл від найпростішого дробу IV типу шляхом повторного інтегрування
частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу III типу.

Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму
найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом
невизначених коефіцієнтів.

) та суми найпростіших раціональних дробів. Зазначимо, що вигляд
найпростіших дробів, визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі
слідуючі випадки:

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто

Qm(x) = (x-a1)(x-a2)…(x-am)

розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

(5)

Невизначені коефіцієнти А1,А2,…Аm знаходяться з тотожності (5).

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто:

(6)

Коефіцієнти A1, B1, B2,… Bk знаходяться з тотожності. (6)

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того
знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники,
тобто

)k • (х2 + px + q)

розкладається на суму найпростіших дробів І -го II — го та III — го
типу

(7)

Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності. (7)

Розв’язування. Підінтегральна функція — це правильний раціональний дріб,
знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на
множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на
суму найпростіших дробів І та III типу.

(8)

Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених
коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба привести до
спільного знаменника, одержимо:

Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути
рівні, тобто

x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В (9)

Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню
X в обох частинах рівності однакові, тобто

Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд:

Інтегруючи цю рівність, одержимо

Інтегрування виразів, що містять ірраціональність.

При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної
інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до
раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.

, де

, де

q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x .

i ми одержуємо

,

де q — спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.

Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями.

Математиками доведено, що будь — яка неперервна функція має
первісну і, отже, невизначений інтеграл. Існують прості елементарні
функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією
елементарних функцій.

Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів:

не виражається елементарними формулами. Вони зустрічаються у практичній
діяльності. Наприклад, доведемо, що

і називають синус інтегральний змінної х.

Похожие записи