Реферат з математики
Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей.
Означення 3. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та
знаменник є многочленами. Тобто дріб має вигляд:
де a1 та bk – коефіцієнти многочленів, i = 1,2…,n; k = 1,2…,m.
.
дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за
правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми
многочлена та правильного раціонального дробу, тобто
Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу
називаються правильні дроби вигляду:
означає, що квадратний тричлен х2 + рх + q немає дійсних коренів і на
множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний
тричлен х2 + rx + s.
Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від
найпростіших раціональних дробів 1-го та II-го типів знаходять методом
безпосереднього інтегрування:
При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в
знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом,
замінити через нову змінну.
одержимо:
Інтеграл від найпростішого дробу IV типу шляхом повторного інтегрування
частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу III типу.
Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму
найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом
невизначених коефіцієнтів.
) та суми найпростіших раціональних дробів. Зазначимо, що вигляд
найпростіших дробів, визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі
слідуючі випадки:
1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто
Qm(x) = (x-a1)(x-a2)…(x-am)
розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:
(5)
Невизначені коефіцієнти А1,А2,…Аm знаходяться з тотожності (5).
2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто:
(6)
Коефіцієнти A1, B1, B2,… Bk знаходяться з тотожності. (6)
3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того
знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники,
тобто
)k • (х2 + px + q)
розкладається на суму найпростіших дробів І -го II – го та III – го
типу
(7)
Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності. (7)
Розв’язування. Підінтегральна функція – це правильний раціональний дріб,
знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на
множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на
суму найпростіших дробів І та III типу.
(8)
Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених
коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба привести до
спільного знаменника, одержимо:
Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути
рівні, тобто
x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В (9)
Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню
X в обох частинах рівності однакові, тобто
Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд:
Інтегруючи цю рівність, одержимо
Інтегрування виразів, що містять ірраціональність.
При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної
інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до
раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.
, де
, де
q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x .
i ми одержуємо
,
де q – спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.
Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями.
Математиками доведено, що будь – яка неперервна функція має
первісну і, отже, невизначений інтеграл. Існують прості елементарні
функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією
елементарних функцій.
Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів:
не виражається елементарними формулами. Вони зустрічаються у практичній
діяльності. Наприклад, доведемо, що
і називають синус інтегральний змінної х.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
