Реферат на тему:

Інтегрування і пониження порядку деяких ДР

з вищими похідними.

ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.

(4.38)

, то

, …..,

(4.39)

Остання формула дає розвязок загальний в області

Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші
з начальними умовами

(4.40)

(4.41)

Ф-я

являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами

Для обчислення використовують ф-лу Коші

(4.42)

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

.. і. т. д.

Приходимо до ф-ли (4.42)

Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений
інтеграл

(4.43)

будуть досить складними.

Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)

(4.44),

Остаточно маємо

(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується

)

-однорідні ф-ї відповідного

.

(4.48)

(4.49)

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в
параметричній формі.

остаточно маємо

похідної.

.

(4.51)

(4.52)

одиниць.

(4.53)

(4.54)

(4.55)

(4.54)

типу (4.43)

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

:

(4.52)

(4.53)

(4.54)

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній
формі.

(4.55)

(4.56)

(4.57)

з якого визначимо

.

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього

ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).

(4.58)

:

.

ми отримаємо а)

Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.

(4.59)

— функцією

Обчислюємо

…..

порядку

— розвязок ДР (4.60) то

Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.

.

.

— розвязок ДР (4.59)

-загальний інтергал рівняння.

4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.

ДР (4.62) можна понизити на один порядок.

Обчислюємо

Тому ДР (4.62) прийме вигляд

(4.63)

.

.

Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР

.

.

який не міститься в знайденому загальному інтергалі.

ДР, ліва частина якого є точна похідна.

,

(4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.

.

.

— розвязки нашого ДР.

.

— перший інтерал.

загальний інтергал.

, які містяться в загальному.

Похожие записи