Реферат на тему:
Інтегрування і пониження порядку деяких ДР
з вищими похідними.
ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.
(4.38)
, то
, …..,
(4.39)
Остання формула дає розвязок загальний в області
Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші
з начальними умовами
(4.40)
(4.41)
Ф-я
являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами
Для обчислення використовують ф-лу Коші
(4.42)
можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).
.. і. т. д.
Приходимо до ф-ли (4.42)
Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений
інтеграл
(4.43)
будуть досить складними.
Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)
(4.44),
Остаточно маємо
(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.
Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується
)
-однорідні ф-ї відповідного
.
(4.48)
(4.49)
Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в
параметричній формі.
остаточно маємо
похідної.
.
(4.51)
(4.52)
одиниць.
(4.53)
(4.54)
(4.55)
(4.54)
типу (4.43)
Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :
:
(4.52)
(4.53)
(4.54)
ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній
формі.
(4.55)
(4.56)
(4.57)
з якого визначимо
.
Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.
Знайшовши з нього
ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).
(4.58)
:
.
ми отримаємо а)
Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.
(4.59)
– функцією
Обчислюємо
…..
порядку
– розвязок ДР (4.60) то
Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.
.
.
– розвязок ДР (4.59)
-загальний інтергал рівняння.
4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.
ДР (4.62) можна понизити на один порядок.
Обчислюємо
Тому ДР (4.62) прийме вигляд
(4.63)
.
.
Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР
.
.
який не міститься в знайденому загальному інтергалі.
ДР, ліва частина якого є точна похідна.
,
(4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.
.
.
– розвязки нашого ДР.
.
– перший інтерал.
загальний інтергал.
, які містяться в загальному.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
