Пошукова робота на тему:

Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку
рівняння.

План

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія)

Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв’язку

Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв’язку

Метод варіації довільних сталих

1. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

-го  порядку 

                 (12.30)

— задані неперервні функції.

 то рівняння       

   

                                                                
                        (12.31)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню
(12.30).                                          

2. Лінійне однорідне рівняння

 диференціальний оператор

тоді рівняння (12.30) можна подати у вигляді

                                                    (12.30а)

а рівняння (12.31) – у вигляді

                                                  (12.31а)

 є лінійним, тобто:

.

            Наведемо властивості розв’язків однорідного рівняння.

 рівняння (12.31) буде розв’язком того самого рівняння.

, то отримаємо розв’язок цього самого рівняння.

 буде розв’язком того самого рівняння.

 Рекомендуємо самостійно довести інші властивості (зауважимо, що
властивість 3 є наслідком перших двох).

            Аналогічно тому, як формулюється поняття лінійної залежності
(незалежності) векторів, вводиться означення лінійної залежності
(незалежності) функцій.

, необхідно і достатньо, щоб їх визначник Вронського

 цього інтервалу.

            Загальний розв’язок рівняння (12.55) має вигляд

                     (12.32)

— лінійно незалежні розв’язки рівняння (12.31).

 лінійно незалежних розв’язків, сукупність яких називається
фундаментальною системою розв’язків  рівняння (12.31).

одиниць. Зокрема, якщо відомий один частинний розв’язок лінійного
однорідного рівняння другого порядку, то загальний розв’язок може бути
знайдений квадратурами (тобто інтегруванням).

3. Лінійне неоднорідне рівняння

Розглянемо деякі властивості рівняння (12.30а).

 та загального

:

                                                     (12.33)

 (за умовою):

Доведемо, що вираз (12.33) є загальним розв’язком рівняння (12.30а).

, які входять у цей розв’язок, можна підібрати так, щоб виконувались
початкові умови

.      (12.34)

 з умов (12.34) одержуємо

, якому відповідає розв’язок задачі Коші (12.30а) , (12.34).
Властивість доведено.

               20. Якщо відомий загальний розв’язок рівняння (12.31а),
то загальний розв’язок рівняння (12.30а) можна    знайти методом
варіації  довільних сталих Лагранжа за допомогою  квадратур.

            Справді, будемо шукати розв’язок неоднорідного рівняння
(12.30а) у формі

          (12.35)

.

 будемо мати систему алгебраїчних рівнянь

          (12.36)

            Покажемо доведення цієї системи на прикладі диференціального
рівняння другого порядку   

            Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння

 Диференціюючи, одержимо

Нехай виконується умова

тоді

Знайдемо другу похідну

 в диференціальне рівняння, одержимо

Перепишемо це рівняння таким чином

розв’язки однорідного рівняння, то вирази в дужках тотожньо рівні нулю;
тому із останнього рівняння одержимо

 аналогічну системі (12.36)

                     (12.36а)

Тоді, після інтегрування одержимо

            Загальний розв’язок неоднорідного рівняння запишеться у
вигляді

             (12.37)

  методом варіації довільних сталих.

            Р о з в ‘ я з о к. Розв’яжемо відповідне однорідне рівняння

 Тоді

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

 визначаються із системи (12.36а)

Тоді

Отже

і загальний розв’язок початкового диференціального рівняння матиме
вигляд

Похожие записи