Реферат з вищої математики

Інтеграл Стилтьєса.

А. Інтеграл Рімана-Стилтьєса. Інтеграл Рімана-Стилтьєса від функції
f(x) з інтегрованою функцією g(x) по граничному інтервалу [a, b] по
визначенню є

де

. Якщо g(x) – функція граничної варіації, а f(x) – неперервна функція
на [a, b], то границя існує.

Невласні інтеграли Лебега-Стилтьєса. Кожна функція g(x), не спадаюча і
неперервна справа на граничному інтервалі [a, b], за допомогою
нерівностей маємо:

де в квадратних дужках вказано множина значень х, визначає межу (межу
Лебега-Стилтьєса) M[S] кожної борелевської множини на інтервалі [a, b].
Зауважимо, що

Відштовхуючись від межі Лебега-Стилтьєса граничних інтервалів по способу
, а вводячи межу M[S] Лебега-Стилтьєса похідної вимірної множини, як
загальне значення внутрішньої і зовнішньої межі.

Якщо задана функція y=f(x), обмежена і вимірна на інтервалі [a, b], то
інтеграл Лебега-Стилтьєса від функції f(x) з інтегрованою функцією g(x)
по [a,b] за визначенням є

(про визначення межі )

з будь-якою інтегрованою функцією g(x) обмеженої варіації. Якщо
інтеграл Рімана-Стилтьєса існує в змісті абсолютної збіжності, то
відповідний інтеграл Лебега-Стилтьєса рівний йому.

С. Якості інтеграла Стилтьєса.

Якщо (a,b) – обмежений або необмежений інтервал, для якого існують
розглянуті інтеграли, то

Якщо g(x) – неспадна функція на (a,b), тоді

на (a,b), тоді

Інтеграли Стилтьєса як правило мають “наглядний” зміст (криволінійні
інтеграли, інтеграли по поверхні, по об’єму, інтеграли по розподілу
маси, заряду і ймовірності). Зауважимо, що інтеграл Стилтьєса в якості
особливих випадків включає в себе інтеграли і суми:

якщо функція g(x) неперевно диференційована на проміжку (a,b), та

Cвертки. Свертка Стилтьєса двох функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) є
по визначенню функцією

для всіх значень t, для яких ці два інтеграла існують і рівні. Класична
свертка функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) таким чином визначається
як

або f*g, справжній зміст як правило видно з контексту.

Якщо мають місце рівності, то

, якщо інтеграли існують, то рівності справедливі.

є послідовність

Нерівності Мінковського і Гельдера.

А. Якщо (a,b) – обмежений або необмежений інтервал, для якого інтеграли
в правій частині існують, тоді

(нерівність Мінковського)

(нерівність Гельдера)

=2 нерівність переходить в нерівність Коші-Шварца.

Б. З нерівності випливають відповідні нерівності для суми та для
безмежних рядів, що сходяться. Якщо суми справа існують, тоді

(нерівність Мінковського)

(нерівність Гельдера)

=2 нерівність переходить в нерівність Коші-Буняковського.

Похожие записи