Реферат на тему:

Границя числової послідовності

Поняття числової послідовності та її границі

називаються членами послідовності. Послідовність вважається заданою,
якщо задано n-й член послідовності.

знайти формулу n-го члена.

.

.

.

Для стислого запису означення границі використаємо квантори: ( — для
будь-якого, будь-який; ( — існує, знайдеться;

: = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі
послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

(рис. 3.12).

Рис. 3.12

, усі члени послідовності перебувають в (-околі точки а (див. рис.
3.12).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю
(скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

.

. Розв’яжемо останню нерівність відносно n:

виконується.

Загальні властивості

збіжних послідовностей

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має
границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність
збіжна, то вона обмежена.

.

будуть менші за 2.

3.2.3. Нескінченно мала величина та її властивості

.

.

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

.

.

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

була н.м.в.

— н.м.в.

Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою

і нескінченно малою величинами

.

Наприклад:

Аналітичною мовою означення н.в.в. виглядає так:

ae

? ?

(

8

:

T

?

?

?

ae

o

??

— величина необмежена, але н.в.в. не буде. Справді, не всі члени цієї
послідовності, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно великими.

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

буде н.в.в., і навпаки.

— н.м.в.

Граничний перехід

при арифметичних операціях

, то:

За допомогою теореми можна виконувати граничний перехід при арифметичних
операціях з послідовностями, але тільки в тих випадках, коли
послідовності збіжні.

.

На практиці такі докладні записи граничного переходу виконують рідко; як
правило, граничний перехід при арифметичних операціях виконується усно.

Якщо умови теореми порушуються, то вираз під знаком границі спочатку
перетворюють таким чином, щоб арифметичні дії виконувалися зі збіжними
послідовностями, а потім виконують граничний перехід.

Теореми, які полегшують

знаходження границь послідовностей

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої
послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона
збіжна;

2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

.

Розглянемо

Приклад.

3.2.7. Число е

.

Взагалі, число е, як і число ( = 3,14 …, широко застосовується в
різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом.

Задача. Суму а грн покладено в банк при р % річних. Як збільшиться ця
сума за один рік, якщо вклад безперервно забирати і знову класти в банк?

.

року буде

сума буде така:

,

.

річних S = 102 грн 2 коп. (а не 102 грн, якщо вклад не знімати цілий
рік).

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

.

(

(

(

(

(

(

(

)

x1

x3

x2

xN

xN+2

xN+1

0

a

a – (

a + (

x

Похожие записи