Пошукова робота на тему:

. Число е. Натуральні логарифми.

План

Натуральні логарифми.

                      (5.11)    

— зростаюча і обмежена зверху.

 За формулою Ньютона для бінома

 або

           (5.12)

 Знайдемо

    (5.13)

Крім цього, кожний доданок, починаючи з третього, більший за
відповідний доданок правої частини рівності (5.12), а перші два доданки
рівні між собою.

є обмежена зверху. Справді,  якщо в правій частині рівності (5.12)
вираз в круглих дужках

на одиницю, то матимемо

                                 (5.14)

 У правій частині нерівності (5.14) в кожному доданку, починаючи з
другого, замінимо в знаменнику співмножники, більші за 2, числом 2.

Матимемо

              (5.15)

 Сума правої частини (5.15) дорівнює:

:

                                      (5.16)

відіграє надзвичайно велику роль як для самого аналізу, так і для його
застосування. Наближене значення його з точністю до 0,0001:

(не вказуючи основи).

 У теоретичних дослідженнях використовують виключно натуральні
логарифми.

            Десяткові логарифми знаходять через натуральні за формулою

.

.

.

.

.

. Але

Рис.5.1

, одержимо

.

 знак нерівності зберігається і приходимо до нерівності

.

Звідси

,

.

), які мають спільну границю, знаходимо

.                                     (5.25)

. Тоді

  .

  є строго аргументом. Тому

,

.

           

Приклади. 

.

.           Із останньої нерівності знаходимо

,

звідки

.

Легко бачити справедливість таких нерівностей:

.

(Нерівності зберігають свій знак, оскільки із трьох чисел, більших
одиниці, найменше підноситься до найменшого додатного степеня, а
найбільше – до найбільшого, також додатного степеня).

            Згідно з теоремами про границю добутку і частки маємо

. Тому

                           

. Тому

.

Але

,

тому

Отже,

                                   (5.26)

.

 або

.                               (5.27)

            Приклади.

.

.

,

, і це записують так:

.

,

,

і це записують так:

.

Отже , для лівосторонньої границі аргумент береться поблизу

). Зокрема, якщо функція

— лівосторонню.

            Зауваження.   1) функція в точці може мати дві границі
(правосторонню і лівосторонню), причому ці границі різні; 2) функція в
точці має дві границі і вони рівні між собою; 3) хоч одна з границь
функції в точці не існує.

            Легко бачити, що коли функція в точці має границю, то вона
має в цій точці правосторонню і лівосторонню границі, і вони рівні між
собою.

 має границю, яка дорівнює значенню лівосторонньої і правосторонньої
границь.

Техніка знаходження границь функцій.

            Приклади. Знайти границі:

.

, який перетворює на нуль чисельник і знаменник. Одержуємо

.

.

.

.

            Домножимо і поділимо на функцію, спряжену даній. Одержимо

 є функція нескінченно велика.

                    

Похожие записи