Пошукова робота на тему:
. Число е. Натуральні логарифми.
План
Натуральні логарифми.
(5.11)
– зростаюча і обмежена зверху.
За формулою Ньютона для бінома
або
(5.12)
Знайдемо
(5.13)
Крім цього, кожний доданок, починаючи з третього, більший за
відповідний доданок правої частини рівності (5.12), а перші два доданки
рівні між собою.
є обмежена зверху. Справді, якщо в правій частині рівності (5.12)
вираз в круглих дужках
на одиницю, то матимемо
(5.14)
У правій частині нерівності (5.14) в кожному доданку, починаючи з
другого, замінимо в знаменнику співмножники, більші за 2, числом 2.
Матимемо
(5.15)
Сума правої частини (5.15) дорівнює:
:
(5.16)
відіграє надзвичайно велику роль як для самого аналізу, так і для його
застосування. Наближене значення його з точністю до 0,0001:
(не вказуючи основи).
У теоретичних дослідженнях використовують виключно натуральні
логарифми.
Десяткові логарифми знаходять через натуральні за формулою
.
.
.
.
.
. Але
Рис.5.1
, одержимо
.
знак нерівності зберігається і приходимо до нерівності
.
Звідси
,
.
), які мають спільну границю, знаходимо
. (5.25)
. Тоді
.
є строго аргументом. Тому
,
.
Приклади.
.
. Із останньої нерівності знаходимо
,
звідки
.
Легко бачити справедливість таких нерівностей:
.
(Нерівності зберігають свій знак, оскільки із трьох чисел, більших
одиниці, найменше підноситься до найменшого додатного степеня, а
найбільше – до найбільшого, також додатного степеня).
Згідно з теоремами про границю добутку і частки маємо
. Тому
. Тому
.
Але
,
тому
Отже,
(5.26)
.
або
. (5.27)
Приклади.
.
.
,
, і це записують так:
.
,
,
і це записують так:
.
Отже , для лівосторонньої границі аргумент береться поблизу
). Зокрема, якщо функція
– лівосторонню.
Зауваження. 1) функція в точці може мати дві границі
(правосторонню і лівосторонню), причому ці границі різні; 2) функція в
точці має дві границі і вони рівні між собою; 3) хоч одна з границь
функції в точці не існує.
Легко бачити, що коли функція в точці має границю, то вона
має в цій точці правосторонню і лівосторонню границі, і вони рівні між
собою.
має границю, яка дорівнює значенню лівосторонньої і правосторонньої
границь.
Техніка знаходження границь функцій.
Приклади. Знайти границі:
.
, який перетворює на нуль чисельник і знаменник. Одержуємо
.
.
.
.
Домножимо і поділимо на функцію, спряжену даній. Одержимо
є функція нескінченно велика.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
