Коломийський коледж права і бізнесу

Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

“ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ”

Виконав

Кушмелюк Федір М.

Перевірив:

Чоботар О.В.

Коломия

2002

План

Границя числової послідовності.

Нескінченно малі числові послідовності.

Нескінченно великі числові послідовності.

Основні теореми про границі.

Границя функції неперервного аргументу.

1. Границя числової послідовності.

У курсі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості
функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі
методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості,
лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять
математики.

З’ясуємо поняття границі на простішому випадку функціональної
залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина
натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю
і позначають yn = f(n), п = 1, 2, … .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1, 2, …,
ул,…, в якому y1 називають першим членом послідовності, y2 — другим і
т. д., yn — n-м, або загальним членом послідовності. Числову
послідовність вважають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп) або
(ап), де уп, ап — n-ні члени послідовностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична
прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп= y1 + d (п —
1), уп = у1qn-1, п = 1, 2, …, де d — різниця арифметичної прогресії; q
— знаменник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

, п = 1, 2, … .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п спадають і наближаються
до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності
містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп — 0| при
зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) знайдеться
член yN такий, що для всіх п > N буде справджуватися нерівність

(3)

— довільне додатне число. Надаючи є довільних додатних значень, щоразу
матимемо шукане число N.

, підставимо в нерівність (3) значення уп і розв’яжемо здобуту
нерівність відносно п. Дістанемо:

(4)

. Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п, які
задовольняють нерівність (4).

, якщо воно ціле, або найбільшу цілу частину цього числа, якщо це
число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таблиці.

Таблиця

N 2 3 4 5 10 31 100

), що для всіх п > N виконується нерівність

. (8)

Символічно це записують так:

Ми будемо користуватися першим позначенням (lim — від латинського
слова «limes», що означає «границя»).

2. Нескінченно малі числові послідовності

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так
званим нескінченно малим послідовностям.

уп = 0.

є нескінченно малими.

, п > N. Тому нескінченно малу числову послідовність можна означити ще
й так.

.

n) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв’язок між послідовністю (уп), яка
має границю, і нескінченно малою послідовністю.

уп = a, то послідовність (аn) = (yn – a) є нескінченно малою.

— нескінченно мала послідовність.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою
послідовністю, то а є границею послідовності (уп).

yn = а. Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означення
границі послідовності.

) — нескінченно мала послідовність.

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих
послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Перш ніж сформулювати наступну властивість, наведемо таке означення.

Послідовність (уп) називається обмеженою, якщо існує число М > 0, що для
всіх значень п = 1,2, … виконується нерівність

| уп | < М. Властивість 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю. 3. Нескінченно великі числові послідовності Розглянемо нескінченно великі числові послідовності. Означення. Послідовність (уп) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N
виконується нерівність | уп | > М. Це записують так:

уп при цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад,
послідовності ((—1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((—1)пп) є нескінченно велика послідовність.
Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п,
маємо |уп|=(—1)пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене
зростають за модулем, набуваючи то додатних, то від’ємних значень. Якщо
М1 = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, … .

.

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути
нескінченно великою. Так, числова послідовність (уп), де

є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими
числовими послідовностями. Цей зв’язок встановлюють такі теореми.

є нескінченно малою.

— довільне додатне число.

(n > N). Теорему доведено.

є нескінченно велика.

.

. Тоді

Теорема доведена.

4. Основні теореми про границі

можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей
користуються такими теоремами.

Теорема 1. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а і
b. Тоді послідовність (xn+yn) має границю а + b.

Теорема 2. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а,
b. Тоді послідовність (хп • уп) має границю, яка дорівнює а • b, тобто

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність
має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність (хп) має границю а, то ця границя єдина.

, читають «ен факторіал».)

1. Отже,

Границі доданків існують. Тому

5. Границя функції неперервного аргументу

, крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного проміжку).

Наведемо два приклади.

+ 2, коли значення аргументу х як завгодно близько наближається до
числа 2. Символічно це позначають так: х ( 2. З малюнка 105 випливає, що
коли х ( 2 зліва або справа, то відповідні значення функції f (х) як
завгодно близько наближаються до числа 4, тобто ці значення мало
відрізнятимуться від числа 4.

.

Символічно це записують так:

Розв’язання. Під знаком граниш є лінійна функція y=kx+b(k=2,b=1).З
попереднього прикладу випливає, що лінійна функція у = kx + b у
будь-якій точці х( a має границю А. Границя дорівнює значенню цієї
функції у точці х = а, тобто А = ka + b. Отже, у даному прикладі А = 2 •
1 + 1 = 0. Задача розв’язана.

Похожие записи