Реферат на тему:

Геометричне застосуваня визначених інтегралів.

План:

1. Обчислення площ плоских фігур.

2. Обчислення довжини дуги.

3.Обчислення об’єму тіла.

4. Обчислення площі поверхні обертання.

5. Обчислення роботи.

6. Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину.

1. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР.

0, то площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f (x) і
прямими х = а, х = b, y = 0 (рис. 7.4), знаходять за формулою

(69)

B2 у

А2

G в

0 х

А1

у=f(x) 0 а с d в х

B

Рис. 7.23
Рис. 7.24

0; тоді за формулою (69) маємо

(70)

Формули (69) і (70) можна об’єднати в одну:

(71)

Ця формула залишається справедливою, якщо функція f (x) на відрізку [a;
b] скінченне число разів змінює знак (рис. 7.24):

Якщо треба обчислити площу фігури А1А2В2В1 (рис. 7.25), то за формулою
(69)

(72)

у

0 а в х

f1(x) , знаходять за формулою (72).

Якщо плоска фігура має складнішу форму (рис. 7.26), то прямими,
паралельними осі Оy, її треба розбити на скінченну суму (різницю)
криволінійних трапецій. Тоді площа фігури дорівнюватиме алгебраїчній
сумі площ утворених трапецій.

Розглянемо випадок, коли криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою
параметрично:

Дістанемо формулу

(73)

(рис. 7.27). Таку фігуру називають криволінійним сектором.

точками

:

.

, тоді природно вважати, що

Отже, площа криволінійного сектора обчислюється за формулою

(74)

Приклади

Знайти площу фігури, обмеженої прямою у = х і параболою у = 2 – х2 (рис.
7.28) .

Знайдемо абциси точок перетину даних ліній. Розв’язуючи систему рівнянь

дістанемо х1 = -2, х2 = 1. Це і є межі інтегрування.

За формулою (72) знаходимо площу:

Знайти площу фігури, обмеженої еліпсом

Оскільки еліпс симетричний відносно обох координатних осей, то шукана
площа дорівнює почетверенній площі фігури, яка знаходиться в першій
чверті. За формулою (73).

(рис. 3.4).

Рис. 7.27
Рис. 7.28

Знаходимо площу пів пелюстки “рози” і множимо на шість. Тому за формулою
(74).

2. ОБЧИСЛЕННЯ ДОВЖИНИ ДУГИ.

Тому довжина дуги

(75)

, то

тому її довжина

(76)

, то

тому з формули (76) знаходимо

(77)

Довжину дуги гладкої просторової кривої, заданої рівнянням

обчислюють за формулою, аналогічною формулі (76):

Приклади

від точки О(0;0) до точки

то за формулою (75) одержимо

Знайти довжину однієї арки циклоїди (рис. 3.6):

Скористаємося формулою (76):

.

, одержимо половину шуканої довжини.

Тому за формулою (77) маємо

3. ОБЧИСЛЕННЯ ОБ’ЄМУ ТІЛА.

Перетнемо, тіло двома площинами, які проходять через точки х та х + dx ,
перпендикулярно до осі Ох. тоді утворену між перерізами фігуру можна
вважати циліндром з основою S (x) і висотою dx, тому диференціал об’єму
dV = S (x) dx , і якщо х змінюється від а до b, то об’єм тіла

Ця формула називається формулою об’єму тіла за площами паралельних
перерізів.

, то об’єм тіла, утвореного обертанням даної трапеції навколо Оу,
знаходять за формулою

Приклади

Знайти об’єм тіла

У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині Оуz на відстані х від
неї, утворюється еліпс

Площа такого еліпса дорівнює

тому за формулою маємо

Знайти об’єм обертанням тіла, утвореного в прикладі 2.

За формулами маємо:

4.ПЛОЩА ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ.

, а радіуси основ дорівнюють f(x) та (x + dx). Якщо висота конуса dx
досить мала, то площа dQ бічної поверхні цієї фігури дорівнює площі
бічної поверхні зрізаного конуса, тобто маємо диференціал площі [5].

Інтригуючи, знайдемо всю площу поверхні обертання:

Приклад

За формулою знаходимо

5. ОБЧИСЛЕННЯ РОБОТИ.

Нехай під дією сили F=F (x) матеріальна точка рухається вздовж прямої
лінії. Якщо напрям руху збігається з напрямом сили, то, як відомо ,
робота А, виконана з цією силою при переміщенні точки на відрізок [a;
b], обчислюється за формулою

Приклади

Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси m підняти з
поверхні Землі вертикально вверх на висоту h, якщо радіус Землі дорівнює
R.

Згідно з законом Ньютона, сила F притягання тіла Землею дорівнює

звідки k=PR2, F (x) = PR2 x-2. За формулою маємо

Яка робота виконується під час стискання гвинтової пружини на 5 см, якщо
для стискання пружини на 1 см витрачається сила 4 Н. Стиск гвинтової
пружини пропорційний прикладеній силі.

Тому за формулою маємо

Нехай у циліндрі з рухомим поршнем знаходиться деяка кількість газу.
Припустимо, що цей газ розширився і пересунув поршень вправо. Яку роботу
виконує при цьому газ?

Нехай s1 i s2 – початкова і кінцева відстані поршня від лівого дна
циліндра; s – шлях, на який перемістився поршень; р – тиск газу на
одиницю площі поршня; Q – площа поршня. Оскільки вся сила, що діє на
поршень, дорівнює pQ, то виконана при виштовхувані поршня робота А
виразиться інтегралом

Позначаючи об’єм кількості газу через V, дістанемо, що V = Qs.
Переходячи в інтегралі від змінної s до нової змінної V, виразимо роботу
через об’єм:

де V1 i V2 – початкове і кінцеве значення об’єму V.

Зокрема, якщо йдеться про ізотермічний процес розширення газу, то,
згідно з законом Бойля – Марієтта, pV = c (C = const) і тоді робота

— характерна для кожного газу стала. Звідси p = CV-k, тому робота

Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати рідину з конічного
резервуара, оберненого вершиною вниз. Радіус і висота конуса дорівнюють
відповідно R і H.

— густина рідини, g – прискорення вільного падіння, dV – об’єм
циліндра. З подібності трикутників AOD і CBD знаходимо у:

тому

Елементарна робота, яку необхідно затратити, щоб підняти цей шар рідини
на висоту х, дорівнює

тому

6. ОБЧИСЛЕННЯ ТИСКУ РІДИНИ НА ВЕРТИКАЛЬНУ ПЛАСТИНУ.

і на прискорення вільного падіння g:

Якщо в рідину занурити не горизонтальну площадку, то її різні точки
лежатимуть на різних глибинах і цією формулою користуватись не можна.
Проте якщо площадка дуже мала, то всі її точки лежать на майже одній
глибині, яку вважають за глибину занурення площадки. Це дає змогу знайти
диференціал тиску на елементарну площадку, а потім тиск на всю поверхню.

Приклад

Знайти тиск рідини на вертикально занурений в рідину півкруг, діаметр
якого дорівнює 2R і знаходиться на поверхні рідини.

Нехай елементарна площадка знаходиться на глибині х. Вважаючи її
прямокутником з основою 2у і висотою dx, знайдемо за законом Паска ля
диференціал тиску:

Звідси

Література:

Барковський В.В. Барковська Н.В. ”Математика для економістів”. Вища
математика. – К.: Національна академія управління, 1997 р. – 397 ст.

Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – к.: А.С.К., 2001 р.

Овчинников П.П. Вища математика. – К.: Техніка, 2000 р

Барковський В.В. Барковська Н.В. ”Математика для економістів”. Вища
математика. – К.: Національна академія управління, 1997 р. – 397

Похожие записи