Реферат на тему:
Функція
Поняття функціональної залежності
Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі вона
набуває різних (тільки одного) значень.
Розглянемо дві змінні величини х ( D ( R i y ( E ( R.
Означення. Функцією y = f(x) називається така відповідність між
множинами D i E, за якої кожному значенню змінної х відповідає одне й
тільки одне значення змінної у.
При цьому вважають, що:
х — незалежна змінна, або аргумент;
у — залежна змінна, або функція;
f — символ закону відповідності;
D — область визначення функції;
Е — множина значень функції.
Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і
табличний.
Означення. Функція у = F(u), де u = ((x), називається складною
(складеною) функцією, або суперпозицією функцій F(u) та ((х), і
позначається y = F(( (x)).
— cкладна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2u, u =
v2, v = sin x.
.
Означення. Нехай функція у = f(x) встановлює відповідність між множинами
D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією,
то вона називається оберненою до даної у = f(x); її позначають у = f –1
(x).
За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:
— взаємно обернені функції:
.
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x (рис.
3.1).
Рис. 3.1
Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х)
називається неявною, якщо її задано рівнянням F(x, y) = 0, яке не
розв’язане відносно змінної у.
визначає неявну функцію у від х.
Означення. Система рівнянь
визначає параметричну залежність функції у від змінної х (t—параметр).
самої залежності у від х можна дістати виключенням параметра t з
останньої системи рівнянь.
Приклад. Параметрична залежність
.
Загальні властивості функцій
Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити
значення функції, називається природною областю визначення функції.
Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить
також від умови задачі.
Приклад. Знайти область визначення функції
.
(0; 1] — природна область визначення. Якщо за умовою задачі х —
відстань, а це означає, що х ( 0, тоді D(y) = (0; 1] — задана область
визначення.
Означення. Функція y = f(x) називається парною (непарною), якщо для
будь-якого х ( D виконується умова f(– x) = f(x) (f (– x) = – f(x)).
Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х ( D, f(– x) ( ( f(x).
Приклад. y = cos x — парна функція (графік функції симетричний відносно
осі ординат (рис. 3.2)), бо y(x) = cos(– x) = cos x = = y(x); y =
arctg x — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку
координат (рис. 3.3)), бо y(– x) = (arctg(– x) = – arctg x = – y(x); y =
arccos x — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо y(– x) = arccos(– x) = (
– arccos x ( ( y(x).
Рис. 3.2 Рис. 3.3
де число Т — період функції.
r TH *
Z
c
ae
$
*
Z
b
c
¦
ae
e
&*,.fn0
2
f 1 — монотонно
зростаюча (рис. 3.7).
Рис. 3.6 Рис. 3.7
Елементарні функції
Основні з них:
(рис. 3.8);
(рис. 3.7);
(рис. 3.10);
(рис. 3.11).
Рис. 3.8 Рис. 3.9
Рис. 3.10 Рис. 3.11
Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з
основних елементарних функцій за допомогою скінченної кількості
алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:
— елементарна функція.
— розв’язок рівняння
— многочлени.
буде алгебраїчною, бо вона є розв’язком рівняння
.
Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.
Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та
ірраціональні.
Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен
Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів
.
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
