Реферат на тему:

Функція

Поняття функціональної залежності

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі вона
набуває різних (тільки одного) значень.

Розглянемо дві змінні величини х ( D ( R i y ( E ( R.

Означення. Функцією y = f(x) називається така відповідність між
множинами D i E, за якої кожному значенню змінної х відповідає одне й
тільки одне значення змінної у.

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна, або аргумент;

у — залежна змінна, або функція;

f — символ закону відповідності;

D — область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і
табличний.

Означення. Функція у = F(u), де u = ((x), називається складною
(складеною) функцією, або суперпозицією функцій F(u) та ((х), і
позначається y = F(( (x)).

— cкладна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2u, u =
v2, v = sin x.

.

Означення. Нехай функція у = f(x) встановлює відповідність між множинами
D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією,
то вона називається оберненою до даної у = f(x); її позначають у = f –1
(x).

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:

— взаємно обернені функції:

.

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x (рис.
3.1).

Рис. 3.1

Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х)
називається неявною, якщо її задано рівнянням F(x, y) = 0, яке не
розв’язане відносно змінної у.

визначає неявну функцію у від х.

Означення. Система рівнянь

визначає параметричну залежність функції у від змінної х (t—параметр).

самої залежності у від х можна дістати виключенням параметра t з
останньої системи рівнянь.

Приклад. Параметрична залежність

.

Загальні властивості функцій

Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити
значення функції, називається природною областю визначення функції.
Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить
також від умови задачі.

Приклад. Знайти область визначення функції

.

(0; 1] — природна область визначення. Якщо за умовою задачі х —
відстань, а це означає, що х ( 0, тоді D(y) = (0; 1] — задана область
визначення.

Означення. Функція y = f(x) називається парною (непарною), якщо для
будь-якого х ( D виконується умова f(– x) = f(x) (f (– x) = – f(x)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х ( D, f(– x) ( ( f(x).

Приклад. y = cos x — парна функція (графік функції симетричний відносно
осі ординат (рис. 3.2)), бо y(x) = cos(– x) = cos x = = y(x); y =
arctg x — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку
координат (рис. 3.3)), бо y(– x) = (arctg(– x) = – arctg x = – y(x); y =
arccos x — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо y(– x) = arccos(– x) = (
– arccos x ( ( y(x).

Рис. 3.2 Рис. 3.3

де число Т — період функції.

r TH *

Z

c

ae

$

*

Z

b

c

¦

ae

e

& * , . f n 0

2

< N R b l n p | „ (ae & f   < ??????????????????„ † ? ? ? ? 1/4 I O a i jP ?? 8› — деяке скінченне число. . — монотонно спадна функція при 0 < a <1, а при а > 1 — монотонно
зростаюча (рис. 3.7).

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Елементарні функції

Основні з них:

(рис. 3.8);

(рис. 3.7);

(рис. 3.10);

(рис. 3.11).

Рис. 3.8 Рис. 3.9

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з
основних елементарних функцій за допомогою скінченної кількості
алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:

— елементарна функція.

— розв’язок рівняння

— многочлени.

буде алгебраїчною, бо вона є розв’язком рівняння

.

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та
ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

PAGE

Похожие записи