Реферат на тему:

Функції і їх графіки

Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб
прийти до розуміння доцільності його введення й одержати перші досить
чіткі означення, потрібні були зусилля відомих математиків декількох
поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ сторіччі,
викликані роботами багатьох вчених, що представляють різні країни і
народи. Але в першу чергу варто назвати імена П. Ферма (1601—1665),
Р. Декарта (1596—1650), И. Ньютона (1643—1727), Г. В. Лейбніца
(1646—1716).

Необхідні передумови до виникнення поняття функції були створені в 30-х
роках ХVII в., коли виникла аналітична геометрія, що характеризується,
на відміну від класичних методів геометрів Древньої Греції, активним
залученням алгебри до рішення геометричних задач. Практично одночасно (і
незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт
помітили, що введення системи координат на площини і завдання фігур
їхніми рівняннями дозволяють звести багато задач геометрії до
дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, що дав
розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про
метод», прямокутна система координат пізніше була названа декартовою.
Істотно помітити, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося
«буквене числення», те саме, за допомогою якого зараз перетворюються
алгебраїчні вирази, розв”язуються рівняння, текстові задачі і т. п.

Великий англійський учений, математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи
залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже
займався дослідженням функцій. Хоча не він увів це поняття, Ньютон ясно
усвідомлював його значення. Так, у 1676 р. він відзначав: «Я не міг би,
звичайно, одержати цих загальних результатів, перш ніж не відвернувся
від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто
фактично функцій від часу).

Сам термін «функція» уперше зустрічається в рукописі великого німецького
математика і філософа Г. Лейбніца — спочатку в рукописі (1673 р.), а
потім і в друкованому вигляді (1692 р.). Латинське слово function
переводиться як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor переводиться
також словом «виражати»). Лейбніц увів це поняття для назви різних
параметрів, зв’язаних з положенням точки на площині. У ході
переписування Лейбніц і його учень — швейцарський математик И. Бернуллі
(1667—1748) поступово приходять до розуміння функції як аналітичного
виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної величини
називається кількість, складена яким завгодно способом з цієї перемінної
і постійних».

Л. Эйлер у своїй книзі «Введення в аналіз» (1748 р.) формулював
означення функції так: «Функція перемінної кількості є аналітичне
вираження, складене яким-небудь способом з цієї перемінної кількості і
чисел чи постійних кількостей».

Эйлер же ввів і прийняті зараз позначення для функцій.

, важливо тільки, що ця відповідність установлена.

Сучасне поняття функції з довільними областями означення і значень
сформувалося, власне кажучи, зовсім недавно, у першій половині поточного
сторіччя, після робіт творця теорії множин Г. Кантора (1845—1918).

Складний і, дуже тривалий шлях розвитку поняття функції досить типовий.
Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного
поняття, потрібно виділити його в процесі рішення багатьох конкретних
задач, дати означення, яке по можливості точно відбиває його зміст.

До поняття функції математики прийшли, відправляючись від конкретних і
важких задач математики і її додатків. Це відбувалося в процесі
створення нового могутнього апарата досліджень — інтегрального і
диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального
числення, центральним поняттям яких Эйлер проголосив функцію («Весь
аналіз нескінченного обертається навколо перемінних кількостей і їхніх
функцій»), розширило можливості математики.

Числова функція.

Означення. Числовою функцією з областю визначення D називається
відповідність, при якої кожному числу x з множини D співставляється за
деяким правилом число y, що залежить від x.

Функції звичайно позначають латинськими (а іноді грецькими) буквами.
Розглянемо довільну функцію f. Незалежну змінну називають також
аргументом функції. Число y, що відповідає числу x, називають значенням
функції f у точці x і позначають f(x). Область визначення f функції
позначають D(f). Множину, що складається з усіх чисел f(x), таких, що x
належить області визначення функції f, називають областю значень функції
f і позначають E(f).

вважають множину усіх не рівних нулю дійсних чисел. Область її значень
збігається з областю визначення і є об’єднанням інтервалів (–?; 0) і (0;
?).

; область її значень — уся числова пряма, тобто  E(tgх) = (–?; ?).

— множина усіх дійсних чисел, з якого виключені корені многочлена
q(x).

Приклад 1. Знайдемо область визначення дрібно-раціональної функції

(2; ?).

Графік функції.

Означення. Графіком функції f називають множину усіх точок (x; y)
координатної площини, де y = f(x), а x «пробігає» всю область визначення
функції f.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона
має не більш однієї загальної точки з будь-якої прямої, паралельної осі
Oy. Наприклад, множина, зображена на малюнку (14.1), не є графіком
функції, тому що вона містить дві точки з однієї і тією же абсцисою a,
але різними ординатами b1 і b2. Якби ми рахували цю множина графіком
функції, то довелося б вважати, що ця функція має при x = a відразу два
значення b1 і b2, що суперечить означенню функції.

Часто функцію задають графічно. При цьому для будь-якого x0 з області
визначення легко знайти відповідне значення y0 = f(x0) функції (мал.
14.2).

Перетворення графіків.

jo

????????Т?Т??-??????????Т?Т????????????Т?Т?домі з курсу геометрії
зведення про перетворення фігур, цей список можна істотно розширити.

координати точки, у яку переходить довільна точка (x; y) площини при
даному перетворенні, одержимо відомі вам формули

(14.1)

По означенню графіка функції ця фігура є графіком функції y = f(x) + b.
Сказане дозволяє сформулювати правило:

Для побудови графіка функції f(x) + b, де b — постійне число, треба
перенести графік f на вектор (0; b) уздовж осі ординат.

Приклад 2. Побудуємо графіки функцій: а) y = sin x + 2; б) y = x2 – 5.

а) Відповідно до правила переносимо графік функції y = sin x на вектор
(0; 2), тобто нагору по осі Oy на 2 одиниці (мал. 14.3).

б) Побудова здійснюється переносом параболи y = x2  на вектор

(0; –5), тобто вниз по осі Oy (мал. 14.4).

2) Ще одним перетворенням є розтягання уздовж осі Oy з коефіцієнтом k,
що задається формулами

і –2.

D(f). Ця фігура є графіком функції y = kf (x). Доведено наступне
правило:

Для побудови графіка функції y = kf (x) треба розтягти графік функції
y = f (x) у k раз уздовж осі ординат.

(рис. 14.8).

раз, а потім відбити його симетрично щодо осі абсцис (див. рис. 14.7).

Рис. 14.8

3) Паралельний перенос уздовж осі абсцис на вектор (a; 0) задається
формулами

(14.3)

приймає всі значення виду x + a (x «пробігає» D(f)).

визначено. Отже, фігура Ф є графік функції y = f (x – a). Отже, можна
зробити висновок:

Графік функції y = f (x – a) виходить із графіка f переносом (уздовж осі
абсцис) на вектор (a; 0).

— у негативному.

показано на рисунках 14.9 і 14.10.

Рис. 14.9

Рис. 14.10

4) Розтягнення уздовж осі Ох з коефіцієнтом k задається формулами

(14.4)

.

. Отже:

треба піддати графік функції f розтяганню з коефіцієнтом k уздовж осі
абсцис.

показано на рисунках 14.11 і 14.12.

Рис. 24

Рис. 25

задає відображення множини R дійсних чисел на відрізок [–1; 1]. Слова
«функція» і «відображення» — синоніми.

Нерідко розглядають функції (відображення), область чи визначення
область значень яких (а можливо, і обоє цих множини) не є числовими
множинами.

Поняття відображення часто відносять до числа основних понять
математики. З його допомогою можна дати таке означення функції:

Функцією з областю визначення D і областю значень E називається
відображення множини D на множину E, при якому кожному елементу множини
D відповідає один цілком визначений елемент множини E і кожен елемент
множини E поставлений у відповідність хоча б одному елементу множини D.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

0

a

x

y

b2

b1

y = f(x)

y0

y

x

x0

0

Рис. 14.1

Рис. 14.2

y

1

2

–2?

–?

0

2?

?

3?

x

Рис. 14.3

–5

x

y

0

1

y = x2

y = x2 – 5

Рис. 14.4

А

В

0

0

y

x

??

jL

x

Рис.14.5, 14.6

y

0

y = 2×2

y = x2

y

x

y = –2×2

M

Рис. 14.7

y

x

0

1

x

y

1

M

M?

–1

1

0

x

y

0

–1

y = cos x

M

1

0

–1

x

y

1

y = cos x

y = cos 2x

0

y

x

1

–1

Похожие записи