Реферат на тему:

Функції багатьох змінних

Множини точок на площині

та в n-вимірному просторі

будуть координатами

цієї точки. З метою скорочення запису далі розглядатимемо множини точок
на площині, але подані далі означення можна вважати правильними і в разі
n-вимірного простору.

Означення. Множина точок називається зв’язною, якщо будь-які її дві
точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії
належали цій множині.

Приклад. На рис. 5.1 у випадку а) буде зв’язна множина, а у випадку б) —
не зв’язна.

а) б)

Рис. 5.1

Означення. Множина точок називається обмеженою, якщо всі її точки
належать множині точок круга скінченного радіуса.

Приклад. На рис. 5.2 у випадку а) маємо обмежену множину, а у випадку б)
— необмежену.

а) б)

Рис. 5.2

Означення. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність

(5.1)

.

Зауваження. У випадку двовимірного простору нерівність (5.1) можна
подати у вигляді

Рис. 5.3

(рис. 5.3).

.

Означення. Точка називається внутрішньою для множини точок, якщо вона
належить цій множині разом з деяким своїм (-околом, і зовнішньою, якщо
існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині.

Означення. Зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок,
називається відкритою областю (або просто областю).

Область позначатимемо:

.

У частинному випадку, коли D — прямокутник, область позначатимемо

.

Приклад. На рис. 5.4 множина точок D — область:

.

Означення. Точка називається межовою для області, якщо в будь-якому її
(-околі існують точки, що не належать області і належать їй.

Означення. Множина межових точок називається межею області.

Означення. Область, об’єднана зі своєю межею, називається замкненою
областю.

— рівняння межі області, К — внутрішня, L — зовнішня, М — межова
точка.

Означення. Множина називається опуклою, якщо будь-які точки множини
можна зв’язати відрізком, який буде належати цій множині.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.1.2. Означення функції

багатьох змінних

. При цьому D називають областю визначення функції, Е — областю значень
функції.

.

на площині поставлено у відповідність тільки одне число z. Для
прикладних питань економіки має значення розгляд функції двох або трьох
незалежних змінних. Тому в подальшому більше уваги звертатимемо на ці

функції.

Наведемо приклади функції двох змінних.

.

Це є функція витрат виробництва.

.

Приклад. Припустимо, що предметами споживання будуть два товари А та В,
ціни яких відповідно становлять p1 та p2. Якщо ціни інших товарів сталі,
а прибуток споживачів та структура споживань не змінюються, то попит та
пропозиція кожного з товарів залежить від їх цін.

.

Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:

— аналітично (у вигляді формули), наприклад:

,

— таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

( у

;

— графічно:

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему
координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 5.6).

Рис. 5.6

.

Зауваження. На практиці побудувати графік функції важко, адже йдеться
про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається.

є площина, яка проходить через точки (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0)
(рис. 5.7).

Рис. 5.7 Рис. 5.8.

є півкуля (рис. 5.8).

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних —
зображення за допомогою ліній рівня.

набуває однакових значень.

.

Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на
них функція, дістанемо наближене уявлення про зміну функції.
Елементарний приклад зображення функції за допомогою ліній рівня є
зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості
над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями
рівня висоти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної
місцевості.

Знаходження області визначення

функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на
прикладі.

та надати їй геометричну інтерпретацію.

( 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

.

.

Рис. 5.9

розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 5.9).

Границя функції двох змінних

.

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі

теореми про границю суми, добутку та частки, які анало-

гічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

, то вона єдина.

.

.

. Тоді:

;

;

.

.

, маємо

.

.

.

Зауваження. Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та
функції багатьох змінних є багато спільного, але є й принципова
відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво
більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

\ –

A

A

0 2 R T \ n p ¦ ¶ –

¦

E

?kd

E

E

E

?????????????? Правильним є й обернене: з існування та збігу двох
односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

можна нескінченною множиною способів: і справа, і зліва, і зверху, і
знизу, і під кутом 30( до осі Ох тощо (рис. 5.10).

Рис. 5.10 Рис. 5.11

Більше того, до точки можна наближатися не тільки по прямій, а й по
більш складних траєкторіях (рис. 5.11).

по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш обмежене, ніж збіг двох
односторонніх границь у випадку функції однієї змінної.

не існує.

.

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої,
наприклад:

.

і т. п.

не існує.

. Розглянемо границі, які дістаємо після послідовних граничних
переходів за кожним із аргументів окремо в тому чи іншому порядку.

Якщо при будь-якому фіксованому y з Y існує для функції f(x; y) (яка
буде функцією від х) границя при х ? а, то ця границя, взагалі кажучи,
буде залежати від наперед фіксованого у:

.

— це буде одна із двох повторних границь. Іншу дістанемо, якщо границі
візьмемо в зворотному порядку

.

Повторні границі не обов’язково рівні.

Приклад. Нехай

і а = b = 0, тоді:

,

.

Може статися так, що одна з повторних границь існує, друга — ні.

Розглянемо приклади.

або

.

).

Приклади показують, що можливість перестановки границь повинна бути
обґрунтована. У зв’язку з цим виконується наступна теорема, що
встановлює зв’язок між подвійною і повторною границями.

Теорема 5. Якщо 1) існує (скінченна або ні) подвійна границя

, яка дорівнює подвійній границі.

.

, тому

.

, що й треба було довести.

, що дорівнює також числу А (в цьому випадку обидві повторні границі
однакові).

З теореми 5.5 випливає, що в прикладах 1) і 2) подвійна границя не
існує.

випливає, що вона дорівнює нулю.

Не обов’язково існування подвійної границі необхідне для рівності
повторних.

обидві повторні границі існують і рівні 0, але подвійної границі
немає.

Неперервність функції двох змінних

.

називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона
неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних змінних

границі не існує (див. приклад в 5.1.5).

Тут ми спостерігаємо цікаве явище. Функція, що розглядається, не є
неперервною в точці (0; 0) по двох змінних водночас, але є неперервною
по змінних x та y окремо.

.

.

; x, y — проміжні змінні, u, v — незалежні змінні.

Рис. 5.12.

.

.

.

Властивості неперервної функції

двох змінних

Теорема 7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким
околом цієї точки.

.

неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій
множині.

неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій
множині є як найменші, так і найбільші.

неперервна на зв’язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї
множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка,
що в ній функція перетворюється на нуль.

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

(5.2)

Похожие записи