Пошукова робота на тему:
Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема
Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за
степенями (x-a)
План
Функціональний ряд.
Область збіжності
Рівномірна збіжність
Степеневі ряди
Теорема Абеля
Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду
1. Функціональні ряди
1.1. Функціональні ряди. Область збіжності
Ряд
(13.22)
певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них
можуть бути збіжними, інші – розбіжними.
при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності
функціонального ряду.
перших його членів
(13.23)
Тоді
, (13.24)
де
а тому
(13.25)
.
Р о з в ‘ я з о к. Для знаходження області збіжності даного
функціонального ряду використаємо радикальну ознаку Коші
. Ряд збігається при тих
при яких ця границя менша за одиницю, тобто
.
ряд розбігається.
ряд розбігається.
1.2. Рівномірна збіжність
нерівність
(13.26)
залишок ряду має вигляд:
довільно зафіксувати, то, очевидно:
одночасно нерівність
)
неможливо. Отже, збіжність прогресії
зокрема.
Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду
(13.22).
нерівність
(13.27)
одночасно.
Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів
користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками,
наприклад ознакою Вейєрштрасса.
нерівностям
(13.28)
і числовий ряд
(13.29)
рівномірно.
При наявності нерівності (13.28) говорять, що ряд (13.22)
мажорується рядом (13.29), або що ряд (13.29) служить мажорантним рядом
для (13.22).
1.3. Функціональні властивості суми ряду
Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей
суми ряду, складеного із функцій, в зв’язку із властивістю останніх.
функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що
складається із безмежного числа доданків) ця властивість не
зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки.
Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як
достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для
неперервності суми ряду. Наприклад, ряд
має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд
збігається нерівномірно.
:
(13.30)
збігається рівномірно, то збігається і ряд, складений із цих границь:
(13.31)
границю, а саме:
(13.32)
Рівність (13.32) можна записати в такому вигляді:
(13.33)
Таким чином, при наявності рівномірної збіжності
функціонального ряду, границя суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного
із границь його членів, або, іншими словами, допустимий граничний
перехід ”почленно”.
і складений з них ряд (13.22) збігається на цьому проміжку
рівномірно, то інтеграл від суми ряду (13.22) можна представити таким
чином:
(13.34)
Рівність (13.34) можна записати ще так:
(13.35)
Отже, у випадку рівномірної збіжності функціонального ряду,
інтеграл від суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із інтегралів від
його членів, або, іншими словами, допустиме ”почленне” інтегрування
ряду.
. Якщо в цьому проміжку ряд (13.22) збігається і, крім того, рівномірно
збігається ряд, складений із похідних:
, (13.36)
похідну, причому
(13.37)
Рівність (13.37) можна записати так:
(13.38)
2. Степеневі ряди
Означення 1. Степеневим рядом називається функціональний ряд
такого вигляду:
, (13.39)
постійні числа, що називаються коефіцієнтами ряду.
.
,
а це значить, що всі члени ряду обмежені
деяке додатне число.
Перепишемо ряд (13.39) у вигляді
(13.40)
і розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:
(13.41)
Члени цього ряду менші за відповідні члени ряду
(13.42)
, а, значить, він збігається. Оскільки члени ряду (13.41) менші за
відповідні члени ряду (13.42), то ряд (13.41) також збігається (за
теоремою порівняння). Це значить, що ряд (13.40) або (13.39) збігається
абсолютно.
Таким чином, теорема повністю доведена.
Теорема 2. Областю збіжності степеневого ряду (13.39) є
інтервал з центром в початку координат.
складаються із точок розбіжності.
точки розбіжності.
називається радіусом збіжності степеневого ряду.
) питання про збіжність або розбіжність даного ряду вирішується
індивідуально для кожного конкретного ряду.
Ряд збігається
Рис.13.3
, то ряд збігається на всій числовій осі.
Вкажемо метод визначення радіуса збіжності степеневого ряду
(13.39). Для цього розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його
членів:
(13.43)
Застосуємо ознаку Даламбера
,
є інтервалом збіжності степеневого ряду (13.39), тобто
(13.44)
Аналогічно для визначення інтервалу збіжності можна
користуватися радикальною ознакою Коші, і тоді радіус збіжності
(13.45)
має такий вигляд :
(13.46)
також називаються коефіцієнтами ряду.
ми одержимо ряд (13.39), а тому ряд (13.39) є частинним випадком ряду
(13.46).
Для визначення області збіжності ряду (13.46) проведемо в
ньому заміну змінної
(13.47)
або
(13.48)
тобто буде розбігатися поза інтервалом (13.48).
Р о з в ‘ я з о к. За формулою (2.30) одержимо
Це знакочергуючий ряд.
Перевіримо умови теореми Лейбніца:
Оскільки умови теореми виконуються,
то даний знакочергуючий ряд збігається.
Це ряд з додатними членами.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
