Реферат на тему

Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності
незалежних випробовувань

Послідовності незалежних випробовувань.

Формула Бернуллі:

Якщо досліди проводити послідовно один за одним в одних і тих же
умовах, причому так, що ймовірність реалізації події А не залежить від
наслідку інших випробувань, то такі випробування рахуються незалежними
відносно подій А.

В подальшому будемо рахувати, що ймовірність події А в усіх
випробовуваннях (спробах) одна і та ж.

Під складною подією будемо розуміти суміщення кількох подій, які
будемо називати проектами. Нехай приводиться „n” спроб отримати подію А,
причому в кожній спробі ймовірність появи події „А” одна і та ж і рівна
„p”.

Ймовірність не реалізації події А буде q = 1 – p. Нехай необхідно
узнати ймовірність тримати подію А „k” раз якщо здійснено „n” спроб.
Зрозуміло, що позитивна реалізація події А не повинна бути якоюсь
певною. Шукану ймовірність можна обчислити по формулі Бернуллі.

Вивід формули Бернуллі:

Згідно теореми множення ймовірностей, якщо в „n” спробах
реалізується „k” раз подія, то ймовірність однієї спроби даної ситуації
обчислюється. В даній формулі реалізується лише одна, певна
послідовність виникання події 10001110…

Pn(1) (k) = pk qn-k

(ст.25)

Число комбінацій, які сприяють появі даного результату з ”n”
спроб „k” позитивна реалізація події визначається:

Cnk = n!/k! (n-k)!

Якщо допускається, що до мети (виникнення „k” помірних реалізацій
при „n” спробах) веде довільна комбінація 1010101… і інші, то згідно
суми ймовірностей незалежних подій шукана ймовірність буде:

Pk qn-k (1)

Отримана формула називається формулою БЕРНУЛЛІ.

ПРИКЛАД: Ймовірність того, що на протязі доби екзаменаційні сесії
двійок отримає не більше p = 0,1; Знайти ймовірність того, що за всю
сесію (20 днів) на протязі 7 днів двійок отримає не більше p = 0,1.

Ясно що при p = 0,1 a = 0,9 шукана ймовірність обчислюється за
формулою:

0,17 0,913

Набір чисел Pn(k) = C20k , k = 0,1,2,…,n називається біноміальним
розподілом, а саму формулу

Pn(k) = Cnk Pk qn-k

біномною формулою. Оскільки 1n = 1, то

Cnk Pk qn-k = 1 (2)

(ст.26)

Число настання події являється найімовірнішим, якщо
ймовірність даної події більша, за усі інші. Ясно, що для різних „k”
число незалежних випробовувань, p – ймовірність послання даної події в
одній спробі q = 1 – p – ймовірність не послання події, то найімовірніше
число настання події „k0” задовольняє нерівності :

Pn – q ? K0 ? Pn + P (3)

Оскільки K0 додатнє число, а різниця np + p – (n – p) = p + q = 1, то
завжди існує оптимальне значення K0.

Якщо ймовірність „p” одного порядку з величиною (1/n) при великих „n”
або при P < 0,1 то обчислення згідно формули (1) можна привести до: e-L (4) де L = n p Формула (4) називається розподілом Пуассона. Даний розподіл є в таблицях. = L = 1,37 днів у році. Поведінка функції біномного розподілу від „k” можна дослідити так: Обчислимо відношення ) для довільних k = 0,1,2,3,...,n Ясно, що коли > 1 – то ймовірність зросту.

Якщо

< 1 – то спаду. > 1 => pn – kp > kq + q,

pn – q > k (p + q), але p + q = 1.

k < pn – q, та ціле, то ймовірність зростає. Якщо k > pn – q, то функція буде спадати. Графік, схематичний даної
функції:

Як бачимо максимум обов’язково є.

Зрозуміло, що pn – q – не є цілим числом. Якщо врахувати, що k0 є цілим
числом, то , як виявляється k0 мусить задовольняти нерівності np – q < np + p. .Д. Числові характеристики випадкових величин. Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин. 1. Нехай ? – дискретна випадкова величин з законом розподілу ? x1 x2 …… xn …… p p1 p2 …… pn …… Математичним сподіванням М(?) цієї випадкової величини називають суму ряду 2. Якщо ?- неперервна величина з щільністю ймовірності P?(x) то математичним сподіванням називається число Математичне сподівання має властивості: - неперервна то (x)dx. У випадку дискретні величини Mc= c, якщо c= const. M(c?)= cM?, M(? + ?)= M? + M?, де ?: ? – випадкові величини. Якщо ?: ? – незалежні, то M(??)= M? * M? M(?- M(?))= 0, бо M(?)- M(M(?))= M(?)- M(?)= 0. [M(?)]= [?]- розмірності. Тому вводять числову характеристику, яку називають дисперсією(момент другого порядку). Дисперсією D(?) називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання D(?)= M(?- M(?))2 Властивості дисперсії. Дисперсія сталої величини рівна нулю Dc= 0. Дійсно M(?- M(?))2 (c-c)2= 0 Сталий множник можна виключити D(?c)= c2D(?). Якщо ?: ?- незалежні випадкові величини, то D(? + ?)= D? + D?. D?= M(?2)+ M(?)2. Дійсно M(?2- 2?M(?)+ (M(?))2= M(?2)- 2M(?)*M(?)+(M(?))2= M(?2)- (M?)2 У випадку дискретної випадкової величини , а у випадку неперервної Розмірність [D(?)]= [?2]. Середнє квадратичне відхилення ; [?]= [?]. Е. Нормальний закон розподілу. Нормальна крива і вплив н форму кривої параметрів розподілу. Ймовірність попадання випадкової величини з нормальним законом розподілу в заданий інтервал. Основним поняттям в телекомунікаційних системах є білий шум, джерелом якого є практично необмежена кількість випромінювачів, які між собою неузгоджені ні амплітудами, ані фазами. Зрозуміло, що цей випадковий процес описується цілком певною функцією розподілу. Якщо ж кількість дослідів обмежена, то, як виявляється, функції розподілу, що описують даний процес є різними, залежать від ряду умов і кількості дослідів. Вибір функції розподілу є досить складною задачею, адже, якщо її неможливо розрахувати теоретично, то довільна функція розподілу випадкової величини буде краще чи гірше описувати дану систему. Однак, якщо дослідів робити дуже багато, а випадкова величина є неперервною, то, як виявляється, усі вони описуються однією функцією розподілу, так званим нормальним законом розподілу випадкової величини, який описується щільністю, густиною. Як бачимо, дана функція розподілу задається двома параметрами „а” та „?”, тобто знаючи їх можна задавати f(х). Обчислимо математичне сподівання випадкової величини з нормальним законом розподілу: Введемо безрозмірну змінну. і тоді х= ?z + a. і область інтегрування -?, +?. Тоді : Перший інтеграл рівний нулю, бо функція непарна, а границі симетричні. Використовуючи зміст інтеграла Пуассона: (2) отримуємо , що М(х) = а (3) Отже, параметр „а” є математичним сподіванням випадкової величини. Обчислимо дисперсію випадкової величини Введемо безрозмірну змінну. . (5) Інтегруємо по частинах . (6) - середньоквадратичне відхилення. .Функція симетрична відносно точки х=а. . (7) Такою функцією розподілу описується білий шум. - вона табульована. ! . F H j H L H l : I @ & ! Тоді F0(х)=0,5+ф(х). Ця формула зв’язує дві функції F0(х) та ф(х) (і та, і інша табуьовані.) Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини . ;dx=?dz Правило трьох „?”. Ми уже знаємо, що степінь розпорошення випадкової величини біля її значення „а” визначається „?”. Питається, якщо відомо а та ?, де в основному буде перебувати випадкова величина. Виявляється, що, коли інтервал зміни випадкової величини буде |x-a|<36, то ймовірність попадання в даний інтервал практично рівна „1”.Дійсно P(|x-a|<36)=2ф3=2*0,49865=0,9973?1 Тобто, якщо білий шум характеризується середньоквадратичним відхиленням ?, то випадкова напруга практично завжди буде коливатися в межах -36 0 має місце
нерівність

вона додатно визначена, тоді виписується нерівність (?)

!

;

.

Теорема Чебишева. Нехай ?1,…, ?n – попарно спряжені випадкові величини з
однаковими математичними сподіваннями та дисперсіями, обмеженими одним і
тим же числом

D (?i) ? Ci ; i=1, 2, …

a.

Згідно з властивостями математичного сподівання паралельних величин

=a

Аналогічно для дисперсій

.

;

Тоді можна записати нерівність Чебишева

;

— a|< ?} = 1; 0. В цьому полягає закон великих чисел. Теорема Бернулі. p. Доведення. Якщо ? k – число успіхів при “k” випробуванні, то ? = ? 1 + ? 2 +…+? n , (k = 1,…,n). Тому для ? k виконуються умови теореми Чебишева , отже . D, то середньоарифметичне значення результатів кожного прямує до математичного сподівання, а частота появи прямує до ймовірності появи події А. Ясно, що дії усіх дослідів математичного сподівання і ймовірність появи одна і та ж. Це і є закон великих чисел. Теорема Ляпунова. (Поняття). Відомо, що нормальний закон розподілу дуже поширений в природі. Чим же це пояснюється? Відповідь дав Ляпунов (як центрально граматична теорема). Теорема. Якщо випадкова величина Х представляє собою суму великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної із яких на всю суму надзвичайно малий, то Х має розподіл, який надзвичайно є близьким до нормального розподілу.

Похожие записи