Реферат на тему:

Елементи векторної алгебри

Системи координат

Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок
точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову
систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо
систему координат на площині.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Таким чином, кожній точці простору відповідає впорядкована трійка чисел
(x, y, z), а на площині — впорядкована пара чисел (x, y), тобто
встановлюється відповідність між геометричним образом — точкою і
впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість
використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як
лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для
розв’язування геометричних задач.

Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка
називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається
полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання
довжин відрізків.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Полярними координатами точки М називаються числа ( — відстань від полюса
О до точки М і ( — кут, на який треба по-

вернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, проти годинникової стрілки.

.

Зв’язок між полярними і декартовими координатами точки (рис. 2.4)
встановлюють формули:

(2.1)

Приклад. Знайти полярні координати точки М (2, 2).

Розглянемо такі перетворення систем координат:

1) паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку системи
координат, а напрям осей залишається таким самим;

2) поворот осей, коли обидві осі повертаються на деякий кут відносно
початку системи координат.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

. Знайдемо зв’язок між ними. З рис. 2.5 бачимо, що

, (2.2)

.

2. Повернемо тепер стару систему координат Оху відносно точки О на кут (
і дістанемо нову систему Ох(y( (рис. 2.6).

Розглянемо також дві полярні системи координат з полюсом у точці О і
полярними осями Ох і Ох(. Тоді згідно з рис. 2.6 маємо

.

Крім того, ( = ( + (, підставляючи це значення ( у формули, остаточно
будемо мати:

(2.3)

дістаємо:

= – х sin( + y cos(.

координатами точки.

Вектори, лінійні операції над векторами

.

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим
вектором.

і напрям щодо деякої осі.

називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на
паралельних прямих.

вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені;
3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо
новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній
геометрії називають вільними.

.

Рис. 2.7

протилежний напряму l.

. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

,

 — кут між вектором і віссю.

на кожну з осей мають вигляд:

Ох: ах = х2 – х1, Оу: ау = у2 – у1, Оz: аz = z2 – z1.

Довжина вектора подається формулою:

(2.4)

і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за
формулами:

. (2.5)

. Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4),
дістанемо:

cos2( + cos2( + cos2( = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (ах + bх, ау + bу, аz + bz).

2. Множення вектора на число ( ( R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

.

.

.

.

.

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх
проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також
множиться на це число:

такі, що за напрямом збігаються відпо-

. Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи
координат. Тоді

(2.6)

Скалярний, векторний

і змішаний добуток векторів

»

&

V

f

h

¤

¦

¬

TH

i

?

| ~ ? „ † ? ? ? ? 1/4 Ue ? -

F

%F

H

J

L

N

a

a

ae

e

e

i

N

„O

„O

називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів
на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то
кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток
дорівнює нулю.

Отже:

,

де ( — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна
також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

.

і навпаки,

.

маємо:

(2.7)

З рівності (2.7) випливає, що:

є ах bх + ау bу + аz bz = 0.

можна знайти за формулою:

.

, якщо:

, де ( — кут між двома век-

торами;

відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Рис. 2.8

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі
паралело-

грама, побудованого на векторах як на сто-

ронах.

Властивості векторного добутку:

— колінеарні вектори.

.

.

.

. З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної
системи координат, маємо:

.

(2.8)

або

.

.

Рис. 2.9

, вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні,
паралелепіпед (рис. 2.9).

. Отже, остаточно маємо:

. (2.9)

.

.

Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного
добутків, маємо:

або

.

Властивості мішаного добутку:

.

.

Найпростіші задачі аналітичної геометрії

1. Відстань між двома точками.

Рис. 2.10

Нехай задано дві точки М1 (х1, у1) і

М2 (х2, у2) (рис. 2.10).

.

Трикутник М1М2K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

(2.10)

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Рис. 2.11

Число ( — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М1М2
(рис. 2.11), якщо

.

, треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні
прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

.

Звідси:

. (2.11)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати
у

. (2.12)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М1 М2, то

( = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:

.

3. Площа трикутника.

Рис. 2.12

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х1, у1), В (х2,
у2), С (х3, у3) (рис. 2.12).

Знайдемо площу цього трикут-

. У правій частині формули стоять площі відповідних трапецій, які
подаються формулами:

;

.

Підставивши знайдені площі у вираз для площі трикутника, дістанемо:

Записавши останній вираз у вигляді визначника, дістанемо остаточну
формулу:

(2.13)

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

B

y

x

M (x, y, z)

О

1

1

1

.

.

.

.

.

А

zC

y

x

M (x, y)

О

1

1

.

.

.

А

M

(

(

О

О

(

(

у

х

М

у

х

(

(

(

a

?

b

?

c

?

?

?

Похожие записи