Реферат на тему:
Елементи теорії графів
1. Основні поняття
1.1. Вершини і ребра
Історично перша робота – Ейлер, розв. задачі про Кенігсбергські мости.
Графи там, де є елементи (вершини) та зв’язки між ними (ребра). Приклади
– географічні схеми, комбінаційні схеми з функціональних елементів,
залежність між дисциплінами навчальних планів, бінарні відношення тощо.
Множина вершин V і множина ребер E. Пари вершин (упорядковані) і
неупорядковані пари – V(V і [V(V]. Функція f з E у V(V або [V(V]. Якщо F
різнозначна, то маємо граф, якщо нерізнозначна – мультиграф. Петлі – (v,
v) чи [v, v].
Інцидентність вершин і ребер (incidence – сфера дії), суміжність
(сусідство) вершин. Степінь вершини. Сума степенів вершин і кількість
ребер.
Частини графа, підграфи та суграфи. Доповнення графа.
Ізоморфізм графів. Автоморфізми.
Дводольний, повний, регулярний, фактор.
Паросполучення. Досконале, максимальне.
Задачі
****Про суму степенів вершин і кількість ребер.
ГС1: 1, 3, 4, 25(1, 2)
****Про ізоморфізм – на картинках, матрицях суміжності та ін.
ГС1: 2, 14(1), 15(1), 16, 18′, 28,
****Про паросполучення. ГС1: 44
1.2. Подання графів і мультиграфів
Подання графів (не мультиграфів) – матриця суміжності, список ребер (пар
вершин), структура суміжності – список вершин із списками їх сусідів
(“ущільнена” матриця).
Подання мультиграфів – матриця інцидентності.
Задачі
****Малюнки ( матриці, списки, структури тощо.
РНД8.8: 24
(Липский( Довести, що при будь-якому неорієнтованому графі матриця
суміжності B виражається через матрицю інцидентності A таким чином:
B = AAT – diag[d1, d2, …, dn],
де AT– це транспонована матриця A, di – степінь i-ї вершини, diag[d1,
d2, …, dn] – діагональна матриця з елементами d1, d2, …, dn на головній
діагоналі.
Трох****
1.3. Графи та відношення
Граф як форма подання відношення на множині V. Об’єднання, перетин та
композиція (добуток) графів. Відбиття властивостей відношень на графах.
Декартовий добуток графів.
Транзитивне, транзитивно-рефлексивне та
транзитивно-рефлексивно-симетричне замикання відношення суміжності.
Зв’язок із матрицею суміжності та її степенями.
Задачі
****
2. Шляхи в графах
Шлях, ланцюг, цикл, прості шляхи. Зв’язність. Компонент зв’язності.
Відстані між вершинами. Діаметри, радіуси, центри.
Задачі
****ГС1: 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14(2), 15(2), 25(4, 5), 26, 27, 39(1,
2)
РНД8.8: 4,
ГС4: 6(1абв), 8(1, 3),
Відмітки-відстані на ребрах. Найкоротші шляхи. Алгоритм Дейкстри.
****
Ейлерові ланцюги та графи. Теорема Ейлера. Гамільтонові цикли та
ланцюги. Задача комівояжера.
Задачі
****(Ейл.ц.)РНД8.8: 52, на малюнках.
****(Гам.ц.)ГС1: 32, 33, 35, 36, 37, 38, 42, 43
3. Дерева
Дерево, ліс. Код дерева. Охоплююче дерево (каркас, кістяк) мінімальної
ваги. Алгоритми Прима та Краскала.
ГС4: 1′, 2, 3, 4, 5′, 6(2), 7, 8(2), 9, 10, 11, 12, 13(…), 14, 15, 16,
17, 25(1)****про коди: 18(…), 19(…), 20(1, 2), 21(…), 22, 23, 25(2)
РНД8.8: 10, 28,
****про ОДМВ: ГС4: 27; РНД8.8: 9(аб),
4. Планарні графи
Плоске зображення та планарний граф. Формула Ейлера. Гомеоморфізм.
Критерій Понтрягіна-Куратовського. Триангуляція.
Задачі
****про гомеоморфізм. ГС1: 29(1,2), 30, 31(1, 2)
****про планарність. ГС2: 1, 2, 3, 4, 5*, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 36,
РНД8.8: 46а, 47, 48,
5. Розфарбування вершин графа
Розфарбування географічних карт – проблема 4-х фарб. Правильне
розфарбування. Хроматичне число. Теореми про 5 і 4 фарби для планарних
графів.
Задачі
****ГС2: 25(…), 26(…), 27(1, 2, 3), 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37,
38(1, 2), 39, 40
6. Орієнтовані графи
Шляхи, ланцюги, цикли (контури), відношення досяжності. Сильна
зв’язність. Гамільтонові ланцюги та контури. Орієнтовані кореневі
дерева. Топологічне сортування.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter