Реферат на тему:

Елементи теорії графів

1. Основні поняття

1.1. Вершини і ребра

Історично перша робота – Ейлер, розв. задачі про Кенігсбергські мости.

Графи там, де є елементи (вершини) та зв’язки між ними (ребра). Приклади
– географічні схеми, комбінаційні схеми з функціональних елементів,
залежність між дисциплінами навчальних планів, бінарні відношення тощо.

Множина вершин V і множина ребер E. Пари вершин (упорядковані) і
неупорядковані пари – V(V і [V(V]. Функція f з E у V(V або [V(V]. Якщо F
різнозначна, то маємо граф, якщо нерізнозначна – мультиграф. Петлі – (v,
v) чи [v, v].

Інцидентність вершин і ребер (incidence – сфера дії), суміжність
(сусідство) вершин. Степінь вершини. Сума степенів вершин і кількість
ребер.

Частини графа, підграфи та суграфи. Доповнення графа.

Ізоморфізм графів. Автоморфізми.

Дводольний, повний, регулярний, фактор.

Паросполучення. Досконале, максимальне.

Задачі

****Про суму степенів вершин і кількість ребер.

ГС1: 1, 3, 4, 25(1, 2)

****Про ізоморфізм – на картинках, матрицях суміжності та ін.

ГС1: 2, 14(1), 15(1), 16, 18′, 28,

****Про паросполучення. ГС1: 44

1.2. Подання графів і мультиграфів

Подання графів (не мультиграфів) – матриця суміжності, список ребер (пар
вершин), структура суміжності – список вершин із списками їх сусідів
(«ущільнена» матриця).

Подання мультиграфів – матриця інцидентності.

Задачі

****Малюнки ( матриці, списки, структури тощо.

РНД8.8: 24

(Липский( Довести, що при будь-якому неорієнтованому графі матриця
суміжності B виражається через матрицю інцидентності A таким чином:

B = AAT – diag[d1, d2, …, dn],

де AT– це транспонована матриця A, di – степінь i-ї вершини, diag[d1,
d2, …, dn] – діагональна матриця з елементами d1, d2, …, dn на головній
діагоналі.

Трох****

1.3. Графи та відношення

Граф як форма подання відношення на множині V. Об’єднання, перетин та
композиція (добуток) графів. Відбиття властивостей відношень на графах.
Декартовий добуток графів.

Транзитивне, транзитивно-рефлексивне та
транзитивно-рефлексивно-симетричне замикання відношення суміжності.
Зв’язок із матрицею суміжності та її степенями.

Задачі

****

2. Шляхи в графах

Шлях, ланцюг, цикл, прості шляхи. Зв’язність. Компонент зв’язності.
Відстані між вершинами. Діаметри, радіуси, центри.

Задачі

****ГС1: 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14(2), 15(2), 25(4, 5), 26, 27, 39(1,
2)

РНД8.8: 4,

ГС4: 6(1абв), 8(1, 3),

Відмітки-відстані на ребрах. Найкоротші шляхи. Алгоритм Дейкстри.

****

Ейлерові ланцюги та графи. Теорема Ейлера. Гамільтонові цикли та
ланцюги. Задача комівояжера.

Задачі

****(Ейл.ц.)РНД8.8: 52, на малюнках.

****(Гам.ц.)ГС1: 32, 33, 35, 36, 37, 38, 42, 43

3. Дерева

Дерево, ліс. Код дерева. Охоплююче дерево (каркас, кістяк) мінімальної
ваги. Алгоритми Прима та Краскала.

ГС4: 1′, 2, 3, 4, 5′, 6(2), 7, 8(2), 9, 10, 11, 12, 13(…), 14, 15, 16,
17, 25(1)****про коди: 18(…), 19(…), 20(1, 2), 21(…), 22, 23, 25(2)

РНД8.8: 10, 28,

****про ОДМВ: ГС4: 27; РНД8.8: 9(аб),

4. Планарні графи

Плоске зображення та планарний граф. Формула Ейлера. Гомеоморфізм.
Критерій Понтрягіна-Куратовського. Триангуляція.

Задачі

****про гомеоморфізм. ГС1: 29(1,2), 30, 31(1, 2)

****про планарність. ГС2: 1, 2, 3, 4, 5*, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 36,
РНД8.8: 46а, 47, 48,

5. Розфарбування вершин графа

Розфарбування географічних карт – проблема 4-х фарб. Правильне
розфарбування. Хроматичне число. Теореми про 5 і 4 фарби для планарних
графів.

Задачі

****ГС2: 25(…), 26(…), 27(1, 2, 3), 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37,
38(1, 2), 39, 40

6. Орієнтовані графи

Шляхи, ланцюги, цикли (контури), відношення досяжності. Сильна
зв’язність. Гамільтонові ланцюги та контури. Орієнтовані кореневі
дерева. Топологічне сортування.

Похожие записи