Реферат на тему:

Елементи математичної статистики. Завдання математичної статистики.
Вибірковий метод та його активні поняття

В попередніх розділах було вказано, що знаючи інтегральну або
диференціальну функцію розподілу, закон розподілу можна вказати
ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал,
ймовірність появи події.

Однак в більшості випадків, що зустрічаються на практиці, точне
значення ймовірності або точний вираз функції розподілу нам невідомий
тому виникає задача про їх визначення експериментально.

Математична статистика вивчає методи, які за допомогою деякої
сукупності експериментів робить певні ймовірні висновки.

Задачі математичної статистики

Нехай подія А має ймовірність, але її значення р = Р(А) невідоме;
необхідно оцінити дане значення по сукупності даних випробувань. Ми вже
стикались з заданою задачею: вводили поняття відносної частини появи
події А.

” по даних, отриманих в результаті випробувань.

Може бути так, що багатомірна функція розподілу залежить від сукупності
параметрів 2,…2к; Дана функція F (х, 2,…,2к) може бути відтворена якщо
задати значення 2,…2к. необхідно провести оцінку випадкових значень
параметрів 2,…2к, тобто провести вибірку із сукупності даних
експериментів, що дозволила б провести дану оцінку.

Вибірна з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові
характеристики. Загальні поняття математичної статистики.

— випадкова величина, причому функція розподілу F(х) нам невідома.

будуть: х1, х2, …хn. Тобто результати вимірювань будуть визначати
скінчену множину

А = х1,…хn, — що складається з однотипних елементів.

Множину А називають генеральною сукупністю, а групу елементів, які
спостерігались при “n” повтореннях експерименту, — випадковою вибірною.
Ще назив. якщо всю сукупність елементів перевірити це генціома
сукупність, а не її випадкова вибірка.

У більшості випадків нас цікавить не самі елементи, а їхні статистичні
характеристики.

І так виборочною сукупністю, або вибірною називають сукупність
випадково відібраних об’єктів із генеральної сукупності – всієї
сукупності елементів.

Вибірки є повторні і безповторні.

Повторна вибірка – це вибірка, коли відібраний об’єкт повертається в
генеральну сукупність.

Безповторна – коли відібраний об’єкт в генеральну сукупність не
повертається.

Для того, щоб вибірка могла описувати генеральну сукупність то
необхідно, щоб вона правильно її представляла, відображала пропорції
елементів генеральної сукупності.

Ця вимога означає, що вибірна є репрезентативною.

Внаслідок закону великих чисел зрозуміло, що при рівноймовірності
подання того чи іншого об’єкту у вибірну, випадковий спосіб формування
вибірки зробить її репрезентативною.

При дуже великому об’ємі генеральної сукупності повторна і безповторна
вибірки практично не будуть відрізнятись і в границі необмеженої
потужності генеральної сукупності різниця зникає зовсім.

Типічною вибіркою називається вибірка, коли об’єкти вибираються не із
всієї генеральної сукупності, а із кожної її типічної частини. Такий
спосіб вибірки проводять тоді, коли групи генеральної сукупності значно
відрізняються одна від одної. Наприклад, параметри деталів, виготовлених
на різних станках, частина яких знижена фізично.

Вибірку можна приводити механічно.

При необхідності перевірки 20% вибирають кожну п’яту, 5% — кожну
двадцяту.

Вибірку можна проводити серійно.

Тобто із генеральної сукупності вибирають елементи не по одному а
серіями, групами. Це доцільно, коли відхилення параметрів груп одне від
одного незначне.

Варіаційним рядом вибірки х1…х називається спосіб її запису, при
якому всі її елементи впорядковуються по величині, тобто записуються у
вигляді:

х(n).

Різниця між максимальним та мінімальних значенням параметра Х
називається розмахом вибірки.

(розмах)

Нехай параметр “хі” у вибірці зустрічається “ni” раз. тоді “ni” – це
частина елемента хі.

Статистичним рядом називається послідовність впорядкованих пар (хі,
Рі).

Варіаційним рядом буде ( впорядкування по величині) 2, 2, 2, 3, 4, 4,
5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

Розмах 10 – 2 = 8

Статистичний ряд:

Xi 2 3 4 5 7 10

nі = 15

nі 3 1 2 3 4 2

При великому числу елементів вибірки весь її розах розбивається на
інтервали, як правило однакові

n1 nк

х1 min xn max

і статистичний ряд подається у вигляді таблиці:

Номер інтервалу Межі інтервалу Середина інтервалу Частоти ni _____

част.

n j

j = 1 Відп.

част.

______

частоти

1

2 10 – 12

12 — 14 12

2 +

4 2

6

2

15

Емпірична функція розподілу

H

|

Ae

TH

B

?

P @

?

?

&

ju

??

” і при зростанні х до верхньої межі дане відношення буде наближатись до
1.

розподілу називають відносну частину появи елементів менших від х, де
n – об’єм вибірки.

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функція розподілу
всієї генеральної сукупності F(x) називають теоретичною функцією
розподілу.

Різниця між ними наступна:

.

F(xo) – характеризує відносну частоту появи такої події.

Тобто оцінкою F(x) – інтегральної функції розподілу генеральної
сукупності може слугувати емпірична функція розподілу.

точках (хі, ns)

центри інтервалів розбивки

Піктограмою називається східчаста фігура, складена з прямокутників (хі,
ni).

Розподілом вибірки називають функцію:

х

n

n3

n2

n1

х1 х2 х3 х

х. Але для оцінки цієї величини використовується емпірична функція
розподілу F*(x).

Цікаво, наскільки відрізняється і F*(x) і F(x), а також статистичні
параметри обчислень для генеральної сукупності і вибірки.

Б) Статистичні оцінки параметрів розподілу

Як правило, число членів, елементів генеральної сукупності дуже велике,
або навіть необмежене. Тоді виникає задача оцінки параметрів по значенню
аналогічних параметрів вибірки, число елементів який обмежений.

Наприклад, якщо по деяких теоретичних розрахунках відомо, що випадкова
функція описується нормальним законом розподілу. Тоді, якщо б знати мат.
сподівання та дисперсію (середнє квадратне відхилення, то функція
розподілу була б визначена.

Як правило досліджуємо відомі лише дані вибірки х1……….хn, отримані в
“n” дослідах, що проводяться в одних і тих же умовах.

Під фразою «знайти статистичну оцінку невідомого параметра теоретичного
розподілу» розуміють знайти функцію розподілу, яка дає наближення
значення параметра.

Оцінка генеральної середньої, генеральної дисперсії.

Нехай задано вибірку х1……….хn з генеральної сукупності з невідомою
функцією розподілу F(x).

Математичне сподівання для теоретичного розподілу, та дисперсія

2 = D(х)

Нам необхідно з певною надійністю визначити F(x) або хоча б деякі її
членові характеристики.

Ми вже вводили функцію розподілу вибірки:

,

x1n – потужність вибірки.

Математичним сподіванням, дисперсією, моментами вибірки будуть
відповідно:

)2 і т.д.

)2 від середнього. Виявляється, що емпірична функція розподілу та її
числові характеристики можуть смутити наближеннями теоретичних
співвідношень ат величин.

Точність оцінки, її надійність і надійна імовірність

Зрозуміло, що n скінченне для любої вибірки виникає запитання
«наскільки близькі» параметри теоретичних та вибіркових параметрів.

Надійні межі математичного сподівання

Типовою оцінкою називають оцінку, яка визначається одним числом. Якщо
вибірку вибирати малою та типовою, оцінки визначено великі похибки.

буде меншою.

то меншому б відповідає більша точність.

Але взагалі кажучи вибравши певне «б» ми не можемо стверджувати що дана
нерівність виконується, вона виконується лише з певною ймовірністю.

.

Слід відмітити, що при оцінці дисперсії генеральної сукупності по
значенню дисперсії вибіркові, обчислені як арифметичні значення квадрами
відхилення змінної величини від математичного сподівання виникає
систематична помилка.

Тобто зв’язок дещо інший

ДГ обчислена ДВ по даній формулі називається виправленою.

слід обчислювати по формулі:

це дійсно так, адже

Тому в якості оцінки генеральної дисперсії слід використовувати
формулу:

де «к» — ще число груп, інтервалів

х1 х2 ……..хк

Похожие записи