Реферат на тему:

Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2×2 матриць Відомо
[[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в
математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона.
Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку
потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики,
як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна
форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона,
Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком
доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях
шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та
проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні
моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з
повним доведенням всіх тверджень.

Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n
стовпців. Позначається матриця так:

. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх
відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

Множити на число

Додавати матриці однакових розмірів:

Множити матриці:

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна
перемножити.

, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n.
Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця
порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.

.

Беспосередньо можна первірити, що для

такий, що АХ=(Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що
відповідає власному значенню (.

. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це
позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А — додатна матриця, тоді А має додатне власне
значення r>0 таке, що:

1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний
вектор.

2. інші власні значення по модулю < r. 3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами). Доведення теореми для 2х2 матриць. . . Напишемо характеристичне рівняння для матриці А: . Це квадратне рівніння з дискримінантом: І тому Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1. , що відповідає власному значенню (1 з рівності Тоді Враховуючи, що перепишемо систему у вигляді: і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути. ,тому що поклавши отримаємо x1>0.

,

, бо cb>0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи
невід’ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в
силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто
повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку,
коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо

(тобто всі елементи додатні). Тоді

(існування границі матриці означає, що існує границя кожного її
елементу)

— має однакові рядки.

3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2х2 матриць.

,

Це квадратне рівняння з дискрімінантом:

І тому

.

.

За визначенням

Звідки

отримуємо

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам
необхідно отримати зручну формулу для Pn.

.

у матричній формі

.

Знайдемо границю Pn:

Твердження 1 теореми доведено.

.

.

Маємо

,

, тому що p>0 і q >0

Теорема доказана.

можна знайти з умови:

Доведення.

визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.

В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких
фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона,
Перрона-Фробеніуса, Маркова.

У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для
загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних
теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній
роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та
розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

Робота може бути використана при проведенні додаткових занять,
присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за
допомогою методів, які доступні школярам.

Список літератури:

С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.

МГУ. 1980

С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.

М., 1984

Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967

Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988

С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и
экономике. “Мир”. М., 1964

Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику.
Иностранная литература. М. 1963

П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978

Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ.
“Наука”. М. 1978

В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.

Т1. “Мир”.М. 1984

PAGE 1

Похожие записи