Реферат на тему:

Елементарна теорія похибок

Означення. Нехай A — точне значення деякого числа, тоді як a —
наближене. Тоді різниця (a = |A-a| називається абсолютною похибкою числа
A .

називається відносною похибкою числа A.

Приклад. Нехай A=10; a=9,5; B=50; b=50,5.

Тоді (a = |10-9,5| = 0,5; (a = 0,5/10 =0,05 = 5%.

(b = |50-50,5| = 0,5; ((b = 0,5/50 = 0,01 = 1%.

Зазначимо, що на практиці більшість статистичних даних є відомими лише з
деякою похибкою.

Означення. Кажуть, що число a має n вірних знаків (розрядів, цифр),
якщо його абсолютна похибка не перевищує половини n-го розряду.

Приклад. Числа 10±0,5 та 50±0,5 мають два вірні знаки. Число 123,2±0,05
має чотири вірні знаки.

У математиці (а також в її застосуваннях) прийнято записувати для
кожного числа всі його вірні знаки і лише ці вірні знаки. Наприклад, за
записом x1=112,40 визначаємо, що це число має п’ять вірних знаків
( (=0,005 ), тоді як за записом числа x2=112,4 визначаємо той факт, що
це число має чотири вірні знаки ((=0,05). У числі y1=1200 вірними є
чотири знаки ((=0,5), а в числі y2=0,120(104 маємо тільки три ((=5).

Теорема 1. У разі додавання (віднімання) наближених чисел їхні абсолютні
похибки додають:

(a+b ( (a + (b  .

Теорема 2. У разі множення (ділення) наближених чисел їхні відносні
похибки додають:

(a(b ( (a + (b  .

Для додавання багатьох близьких чисел (a1~a2~…~an~a) використовують
формулу

Приклад. Нехай a=12±0,3 ; b=10±0,2.

Виконавши додавання, одержимо a+b=22±0,5 ,

звідки (a+b = 0,5.

У результаті множення отримуємо a(b=(12±0,3)((10±0,2)(120±5,4 ,

.

Абслютну похибку (y функції від багатьох змінних y = y(x1,…,xn), як
зазначено в темі 6, обчислюють за формулою

.

Типовою помилкою економіста є наведення у відповіді великої кількості
знаків після коми (оскільки комп’ютер виконує обчислення з багатьма
розрядами). Проте точність результату не може бути вищою, ніж точність
вхідних даних!

Зазначимо, що у разі віднімання відносна похибка може значно зростати.

Приклад. Нехай a=121±0,5

b=119±0,5

.

Як бачимо, внаслідок виконання лише однієї дії відносна похибка зросла
більше, ніж у 100 разів.

Отже у разі виконання значної кількості обчислень завжди є небезпека
втрати вірних знаків. Автоматизація розрахунків за допомогою комп’ютера
в цьому аспекті допомогти аж ніяк не може. Користувач сам повинен
планувати процес обчислень так, щоб уникати віднімання близьких чисел.

Похожие записи