Реферат на тему:

Екстремальні задачі в нормованих просторах

множину лінійних обмежених операторів, які переводять простір X в Y.

такий що

(1)

Означення 2. Диференціалом Гато відображення F в точці x називають
границю

(2)

де збіжність розуміють по нормі простору Y.

називають слабою похідною (або похідною Гато).

Зауважимо, що з співвідношення (2) можна одержати наступний вираз для
обчислення дифференціала Гато

(3)

Можна показати, що з диференційовності за Фреше випливає
диференційованість за Гато, але з диференційовності за Гато не випливає
диференційованість за Фреше.

Має місце наступна

Справедлива наступна

диференційовне за Фреше (Гато) в точці x. Тоді відображення I(x)
диференційовне за Фреше (Гато), причому відповідний диференціал має
вигляд

(4)

і переводить U в Z . Якщо відображення F(x,y) при фіксованому y
диференційовне в точці x (за Фреше, Гато), то його похідна називається
частковою похідною по х відображення F в точці (x,y) і позначається
Fx(x,y). Аналогічно визначається часткова похідна по y Fy(x,y).

Теорема 3 (про повний диференціал). Нехай відображення F(x,y) має в
кожній точці околу U часткові похідні Fx(x,y), Fy(x,y), в розумінні
Гато, які є неперервними відображеннями в U (в розумінні рівномірної
операторної топології). Тоді F диференційовне за Фреше в цій точці,
причому

(5)

і Q — симетричний оператор.

диференційовне (в розумінні Фреше).

то справедлива формула

(6)

називають другим диференціалом Гато.

Приклад 2. Знайдемо другу похідну від функції F(x), яка визначена в
прикладі 1.

будемо записувать у вигляді

(6)

або у вигляді

(7)

Якщо U=X, то задача (6) або (7) називається задачей без обмежень.

Зауважимо, що будь-яка задача на максимум для функціонала F(x) може
бути зведена до задачі мінімізації, якщо замінити функціонал F(x) на
-F(x).

для всіх х з вказаного околу.

Аналогічно визначається точка максимуму для функціоналу F(x). Точки
мінімуму або максимуму називають екстремальними точками.

Покажемо, що справедливо

Твердження 1. Нехай існує диференціал Гато функціоналу F(x) в околі
екстремальної точки x0. Тоді має місце співвідношення

(8)

що і потрібно було довести.

Для нескінченномірних просторів ця умова вже не є достатньою. Приведемо
відповідний

Приклад 3. Нехай в сепарабельному гільбертовому просторі H з базисом
l1, …, lk,… визначений функціонал

Тоді

)0. Тоді

є точкою мінімуму.

(9)

де x0 — довільна точка.

Функціонал F(х) називається напівнеперервним знизу, якщо (9)
виконується коли xn сильно збігається до x0.

Відповідно, функціонал F(х) називається слабонапівнеперервним зверху,
якщо -F(х) є слабонапівнеперервним знизу.

Покажемо, що має місце

непорожня.

Враховуючи співвідношення

що і потрібно було показати.

Розглянемо далі деякі властивості опуклих функціоналів.

які називаються відповідно ефективною множиною і надграфом
функціоналу F(х).

називається власним.

Означення 8. Функціонал F(х) називається опуклим, якщо epi F(x) – опукла
множина.

Для власного функціоналу F(х) має місце

Твердження 2. Для опуклості власного функціоналу F(х) необхідно і
достатньо, щоб для всіх х і y виконувалося співвідношення

(10)

В подальшому ми будемо розглядати лише власні функціонали і тому
співвідношення (10) можна взяти за означення опуклості.

Приведемо один критерій опуклості.

Подібним чином показується, що з опуклості F(х) випливає опуклість f(t).
л

Зауваження 1. Твердження 3 справедливо і для строго опуклих функціоналів
F(х).

і функція f(t) — строго опукла.

Перерахуємо далі деякі властивості опуклих функціоналів.

є опуклим.

Якщо опуклий функціонал F(х) — напівнеперервний знизу, то він є і
слабонапівнеперервним знизу.

Покажемо далі, що справедливе

Твердження 4. Диференційовний за Гато опуклий функцірнал є
слабонапівнеперервним знизу.

Доведення. Зауважимо спочатку, що має місце нерівність

(11)

Ця нерівність випливає з співвідношення

що і потрібно було показати.

Нехай U — опукла множина банахового простору X , F(x) — опуклий
функціонал. Справедливе

є опуклою, причому якщо F(x) строго опуклий, то Е містить не більше
однієї точки.

Тоді наступні три умови еквівалентні:

одержимо умову 2.

Подібним чином доводиться еквівалентність 1) і 3). л

Зауваження. Співвідношення 2) і 3) називають варіаційними нерівностями.

Має місце

=1.

позначено значення лінійного функціоналу l на елементі х.

— опуклі функціонали. Розглянемо наступну задачу

. (12)

— множниками Лагранжа.

одночасно не рівні нулю і такі, що

.

.

та

буде виконуватися нерівність

(13)

є розв”язком задачі.

що суперечить пункту 1 теореми.

Тоді

Ця рівність випливає із співвідношень

в R1 . Розглянемо наступну задачу

Твердження 8. Має місце нерівність

Звідки і отримуємо потрібну нерівність. л

називається сідловою точкою функціоналу R(u,v), якщо

Можна показати, що функціонал R(u,v) має сідлову точку тоді і тільки
тоді, коли

виконується нерівність

(14)

Сформулюємо теорему, яка гарантує існування сідлової точки.

опуклий і напівнеперервний знизу. Тоді R(u,v) має принаймні одну
сідлову точку.

Зауваження. Замість умов обмеженості множин U і V в теоремі 6 можна
вимогати відповідно наступні умови:

Припустимо далі, що Х – дійсний гільбертовий простір. Розглянемо
функціонал F(x) вигляду F(x)=a(x,x)-2l(x), де a(x,x) — квадратична
форма, відповідна до білінійної симетричної неперервної форми a(x,y),
l(x) – неперервний функціонал.

який може бути знайдений із розв’язку варіаційної нерівності

(15)

або нерівності

(16)

Беручи до уваги далі, що DF(x,v)=2[a(x,v)-l(v)], а також твердження
5 і 6 одержимо справедливість сформульованих тверджень.

Наслідок. Нехай U=X. Тоді існує єдиний вектор x, який задовольняє
співвідношенню

(17)

що приводить до умови (17).

Приклад 6. Нехай X=W1(G), де G – обмежена область з кусково-гладкою
границею.

така, що

(18)

тобто існує єдиний узагальнений розв’язок третьої крайової задачі.

Покажемо, що в тому випадку, коли форма a(x,y) може бути не симетричною,
то має місце

Теорема 7 (Лакса-Мільграма). Нехай Х — гільбертовий, сепарабельний
простір, a(x,y) — неперервна білінійна коерцитивна форма на X, l(x) –
неперервний лінійний функціонал. Тоді існує єдиний вектор х такий, що
виконується співвідношення

(19)

Виберемо числа сk з умови

Тоді для c1,…,cn одержимо наступну систему лінійних алгебраїчних
рівнянь

додатньо визначена, а значить ця система має єдиний розв’язок.

задовольняє співвідношенню

(20)

. Нехай існують два вектора х1 і х2, які задовільняють співвідношенню
(20). Тоді

л

— тотожньому перетворенню.

така, що

— визначається як узагальнений розв’язок рівняння

PAGE 6

Похожие записи