Економічний зміст похідної.
Використання поняття похідної в економіці.
Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t)
відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти
продуктивність праці в момент t0.
t ( 0 , тобто
Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої
продукції по часу.
Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.
— виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено
додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.
Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що
випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а
лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть
бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт,
гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.
Застосування диференціального числення для дослідження економічних
об’єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало
назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як
сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об’єкта. Таким
чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об’єкта
(процесу) за часом або відносно іншого об’єкта дослідження. Але
необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати
граничні величини в силу неподільності багатьох об’єктів економічних
розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі
(наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких
випадках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно
використовувати граничні величини.
Розглянемо, як приклад, співвідношення між середнім та граничним доходом
в умовах монопольного та конкурентного ринків.
Сумарний доход (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як
добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q, тобто r = pq.
(див. рис. 4.22). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням
кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується,
внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього
прибутку.
(див. рис. 4.23). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на
відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки
збігаються.
Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач
використовується поняття еластичності функції.
х ( 0:
(4.21)
Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків
зміниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.
, тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює
відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до
точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до
графіка функції А і В знаходяться по одну сторону від точки М, то
еластичність Ех (у) додатня (див. рис. 4.24), якщо по різні сторони, то
Ех(у) відмінна (див. рис. 4.25).
Властивості еластичності функції:
, тобто
2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці)
еластичностей цих функцій:
3. Еластичності взаємообернених функцій — взаємообернені величини:
(4.22)
Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.
Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) —
коефіцієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено
відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції)
при зміні ціни (або доходу) на 1%.
, то мова йде про попит з одиничною еластичністю.
Визначим, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни на
сумарний прибуток z = pq при реалізації продукції. Вище ми вважали криву
попиту р = p(q) — лінійною функцією; тепер припустимо, що р = p(q) —
довільна функція. Знайдемо граничний прибуток
, отримаємо при довільній кривій попиту
(4.23)
e ?
a
”
$
&
(
*
0
2
4
6
8
:
d
f
h
j
“j
l
Ue
TH
ae
ae
e
$
&
(
.
0
V
V
X
Z
\
^
h
j
’
”
–
?
?
?
°
?
?
U
Ue
??
!ту — зменшується. На рис. 4.22 на кривих прибутків виділені області
еластичного та нееластичного попиту.
Приклад: Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х,
що випускається, визначається функцією у = 50х – 0,05х3 (грош. од.).
Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10
одиниць.
(грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною у'(x) =
50-0,15×2 ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15·102
=35 (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці
продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові
затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного
рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають
35 грош. од.
Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош.
од.) та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією
у=0,5х+80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в
розмірі 60 млрд. грош. од.
Розв’язок: За формулою (4.21) еластичність собівартості
, тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош. од.,
збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.
, де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і пропонується
для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну
ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б)
еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при
збільшенні ціни на 5% від рівноваженої.
, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од. б) Знайдемо
еластичності попиту та пропозиції за формулою (4.21):
Для рівноважної ціни р = 2 маємо Ер=2(q) = -0,3, Ep=2(s) = 0,8 .
Так як отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1,
то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни
нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціна не приведе до
різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1%
попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%. в) При
збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 • 0,3 =
1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.
План практичних занять
1. Правило Лопіталя.
3. Зростання та спадання функцій. Екстремуми функцій.
4. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.
5. Опуклість та вгнутість кривої. Точка перегину.
6. Асимптоти графіка функцій.
7. Дослідження функцій та побудова їх графіків.
8. Використання поняття похідної в економіці.
Термінологічний словник ключових понять
Правило Лопіталя — Границя відношення двох нескінченно малих або
нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних
(скінченній або нескінченній), якщо остання існує.
x2). Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.
Опуклість та вгнутість кривої— Крива на проміжку називається опуклою
(вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її
дотичної на цьому проміжку.
Точка перегину — Tочка, яка відокремлює випуклу частину кривої від
вгнутої.
Асимптота — Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від
змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у
нескінченність прямує до нуля.
x ( 0.
Економічний зміст частинних похідних
Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести
поняття частинних еластичностей функції двох змінних.
Припустимо, що функції x1 = f(p1;p2) і x2 = f(p1;p2) виражають попит на
товари А і В, які залежать від ціни на ці товари. Частинні еластичності
попиту відносно цін p1 і р2 складають
Частинна еластичність E11 попиту на товар А відносно ціни товару А
приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А,
якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається незмінною.
Частинна еластичність Е12 попиту на товар А відносно ціни товару В
приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А,
якщо ціна товару В зростає на 1%, а товару А залишається без змін і т.
п.
Приклад: Припустимо, що функція попиту на товар А є
Знайти частинні показники еластичностей.
= 0,05 тобто, якщо ціна товару В зростає на 1% при незмінній ціні
товару А, попит на товар А зростає приблизно на 0,05%.
План практичних занять
1. Частинні похідні першого порядку. Повний диференціал.
2. Градієнт. Похідна за напрямом.
3. Похідна від неявної функції.
4. Частинні похідні і диференціал вищих порядків.
Лабораторні роботи
1. Наближене обчислення за допомогою повного приросту або повного
диференціалу.
2. Застосування частинних похідних в економіці.
Термінологічний словник ключових понять
( 0.
у) не виходила за межі околу точки (х0, у0).
у.
Повний диференціал функції двох змінних z = f(x, у) обчислюється за
формулою
) і обчислюється за формулою
, який характеризує напрям максимального зростання функції z – f(x,y) у
точці Р0 (х0, у0):
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
