Реферат на тему:

Дослідження операцій. Задачі з умовами невизначеності та конфлікту

План

Основні поняття теорії ігор. Теорія гри та прийняття управлінських
рішень.

Прийняття рішень в умовах невизначеності. Характеристика задач
стохастичного програмування.

Задача оптимізації випуску продукції за умов залежності прибутку від
попиту.

КЛЮЧОВІ ПОНЯТТЯ ТА ТЕРМІНИ

гра двох осіб з нульовою

сумою

рівновага в грі

мішана стратегія

конфліктна ситуація

антагоністична гра

середній виграш

правила гри

матрична гра

матриця виплат

стратегія гри

спрощення гри

виграш

нижня ціна гри

коаліційна гра

оптимальні стратегії

сідлова точка

кооперативна гра

чиста стратегія

домінована стратегія

верхня ціна гри

позиційна гра

безкоаліційна гра

коаліційна гра

гра з природою

інформаційна множина

рівновага за Нешем

матриця ризиків

максимінна стратегія

критерій Вальда

кооперативна гра

стратегія загрози

критерій Севіджа

біматрична гра

переговорна множина

критерій Гурвіца

конфліктна ситуація

1. Основні поняття теорії ігор. Теорія гри та прийняття управлінських
рішень.

Теорія ігор — це розділ дослідження операцій, що займається теорією
математичних моделей прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту.
При цьому математичні моделі, що застосовуються, є достатньо спрощеними
та ідеалізованими схемами реальних явищ.

Таким чином, теорія ігор досліджує питання поведінки і виробляє
оптимальні правила (стратегії) поведінки для кожного з учасників
конфліктної ситуації.

Розв’язання суперечностей за допомогою теорії ігор можливе лише після
проведення математичного моделювання ситуацій у вигляді гри.

Сучасний математичний підхід до різних інтересів теорії ігор, звичайно,
приписують фон Нойману, що виклав його у своїх статтях 1928 і 1937 pp.,
хоча в 1953 році Фреше вказав, що основи теорії ігор було намічено в
деяких статтях Бореля на початку 20-х років. Хоча Борель дав ясне
формулювання важливого класу теоретико-ігрових задач і ввів поняття
чистих та мішаних стратегій, він, як зауважив фон Нойман, не отримав
основного висновку — теореми про мінімакс, без якої не може бути жодної
теорії ігор.

Фон Нойман довів справедливість цієї теореми для загальних умов і, крім
того, створив багату ідеями теорію ігор з числом гравців більше двох. На
жаль, жодна з цих двох груп робіт не привернули до себе великої уваги
при публікації, очевидно тому, що статті були написані для математиків,
а не для соціологів. Справжній інтерес до теорії ігор пробудила робота
фон Ноймана і Моргенштерна “Теорія ігор та економічна поведінка”, що
вийшла в світ у 1944 році.

Наступному швидкому розвитку теорії ігор значною мірою сприяла Друга
світова війна. Під час війни було розгорнуто широку діяльність у
напрямку наукового чи, щонайменше, систематичного підходу до таких
задач, які раніше знаходилися виключно в компетенції “практиків”.
Маються на увазі такі питання, як: організація тилу, пошук підводних
човнів, протиповітряна оборона і т.і. Теорія ігор є одним із
найскладніших теоретичних обгрунтувань з тих, що з’явилися у цій галузі.
Своїм подальшим розвитком теорія ігор завдячує таким відомим вченим, як
Р. Данкан Льюс, Ховард Райфа, Ерве Мулен, Н. Н. Воробйов та ін. Слід
зазначити, що теорія ігор є, насамперед, математичною дисципліною. В
основному це пояснюється тим, що початок їй поклав математик і викладена
вона була як достатньо формальна побудова, що зробило її доступною в
якості знаряддя дослідження лише для математиків. Тим не менше, в наш
час теорія ігор застосовується в найрізноманітніших галузях науки і
суспільного життя, її результатами користуються політики, економісти,
військові, букмекери.

Одна з характерних рис будь-якого суспільного, соціально-економічного
явища полягає у множинності, різнобічності інтересів, в наявності
сторін, що мають відмінні інтереси та нетотожні цілі, або хоча б у
наявності кількох різних активних точок зору стосовно явища та його
результату.

У цьому сенсі можна сказати, що будь-якому соціально-економічному явищу
властиві риси конфлікту.

Слід зауважити, що кожна зацікавлена сторона повинна мати різні
можливості діяти, задовольняти свої інтереси (вперше це твердження було
сформульоване Вільямом Ешбі і отримало назву “закону про необхідну
різноманітність”). В іншому випадку, коли сторона має лише одну таку
можливість, вона перестає відігравати роль сторони у процесі, що
розглядається, і перетворюється на обставину, яка однозначно впливає на
цей процес.

Отже, адекватна математична модель соціально-економічного явища повинна
відображати властиві йому риси конфлікту: відмінність інтересів сторін —
учасників конфлікту, а також різноманітність відповідних дій, які ці
сторони можуть здійснювати для досягнення своїх цілей. Це означає, що
соціально-економічне явище при його математичному моделюванні повинно
поряд з іншими можливими представленнями припускати ще й представлення у
вигляді конфлікту, тобто таке, в якому відображені наступні його
компоненти: зацікавлені сторони; можливі дії кожної зі сторін; інтереси
сторін.

Розглянемо основні визначення теорії ігор.

Ситуація називається конфліктною, якщо в ній беруть участь сторони,
інтереси яких повністю або частково протилежні.

Гра — це конфлікт, в якому наявні щонайменше 2 учасники (гравці), кожний
з яких прагне досягнення власних цілей. Будь-яка гра складається з
партій, які починаються і закінчуються, після чого гравцям виплачуються
їх виграші. Своєю чергою, кожна партія складається з ходів, які
одночасно або послідовно роблять гравці. Опис гри як послідовності ходів
носить назву позиційної форми гри.

Правила гри — це припустимі дії кожного з гравців, спрямовані на
досягнення певної мети.

Кількісна оцінка результатів гри називається виплатою.

Описання вибору гравця в кожній з можливих ситуацій, при яких він
повинен зробити хід, називається стратегією гри.

Стратегія гри називається оптимальною, якщо при багаторазовому
повторенні гри вона забезпечує гравцеві максимально можливий середній
виграш.

Таким чином, гра характеризується за допомогою системи правил, які
описують сутність конфліктної ситуації:

кількість гравців;

вибір способу дій гравців на кожному з етапів гри;

інформацію, якою володіє кожен з гравців при здійсненні таких виборів;

виплату для кожного з гравців після завершення довільного етапу гри.

Виграш у грі є засобом ефекту для гравця, в теорії ігор виграш
оцінюється кількісно. Виграш гравця залежить як від його стратегії, так
і від стратегії інших осіб. В іграх з нульовою сумою програш дорівнює
сумі виграшів, тому гра є антагоністичною.

Завдання дослідника конфліктної ситуації полягає в приведенні її з
мінімальними втратами до формальної гри.

Основними принципами, що використовуються при пошуку розв’язків ігор, є
принципи оптимальності та рівноваги,

Оптимальність.

Дослідження конфліктів, а у відповідності до цього — ігор, можна
проводити з різних точок зору:

дескриптивної, яка полягає у визначенні того, які ситуації фактично
складаються (або можуть складатися) в тих чи інших конфліктах;

нормативної, що визначає, яку поведінку гравців слід вважати оптимальною
(розумною, адекватною);

конструктивної, яка вказує, як реалізовувати потрібні (наприклад,
оптимальні) стратегії або ситуації;

прогностичної, що займається передбаченням фактичного результату
конфлікту.

Теорія ігор як математична дисципліна в її сучасному стані займається
нормативним вивченням ігор.

Основними задачами теорії ігор можна вважати наступні:

синтез принципів оптимальності:

встановлення можливостей реалізації принципів оптимальності (тобто
встановлення факту існування оптимальних у цьому сенсі ситуацій);

знаходження їх реалізацій.

Основними змістовними рисами конфлікту стосовно результатів або множини
результатів конфлікту вважаються інтуїтивні уявлення про вигідність,
стійкість та справедливість.

У найпростішому випадку, коли у грі бере участь лише єдиний гравець,
вигідність можна розуміти єдиним чином, а саме: як максимізацію значень
функції виграшу на всій множині стратеіїй-ситуацій. Такі задачі, по
суті, є задачами оптимізації і в теорії ігор не розглядаються.

, і позначається через X .

та в отриманні ним у новій ситуації х = (х1, …, хn) виграшу Hi(x) з
деякого джерела.

Таким чином, будь-який конфлікт може бути представлений у вигляді
системи

.
(1)

Така система називається безкоаліційиою грою або просто грою .

Серед усіх безкоаліційних ігор виділяється клас антагоністичних ігор, в
яких число гравців дорівнює двом, а значення їх функцій виграшу в кожній
ситуації рівні за величиною і протилежні за знаком:

.
(2)

Для скорочення вживання індексів, множини стратегій гравців 1 і 2 в
антагоністичній грі, звичайно, позначимо через А та В , функція виграшу
Н1 через Н , а сама гра записується у вигляді

. (3)

Нехай гра нетривіальна, тобто в ній бере участь декілька гравців. В
цьому випадку змістовні уявлення про вигідність і стійкість, не кажучи
вже про справедливість, можуть бути формалізовані по-різному.

Можна, наприклад, оптимальною ситуацією вважати таку, за якої одночасно
досягають своїх максимумів функції виграшу кожного з гравців.

Умову оптимальності в цьому сенсі для ситуації х* у грі Г формально
можна записати так:

.
(4)

Вигідність такої ситуації очевидна. Так само, як і її стійкість:
будь-яке відхилення від неї гравців або групи гравців може призвести
хіба що до зменшення виграшів усіх учасників гри (в тому числі — тих, що
відхилилися). Справедливість цієї ситуації випливає з симетричності
входження всіх гравців у вищенаведену умову. Однак існування таких
ситуацій є винятком.

Рівновага.

.

є результатом заміни в ситуації х стратегії хі гравця і на його
стратегію хі’ . Ситуація х* називається рівноважною (або ситуацією
рівноваги ), якщо

.
(5)

Класифікація ігор

Класифікація ігор реалізується за певною множиною класифікаційних ознак,
а саме: кількість гравців, кількість стратегій, характер взаємин між
гравцями, характер виграшів, вигляд функції виграшів, момент вибору
ходу, кількість ходів, стан інформації.

Кількість гравців.

0 — це описова модель ситуації. 1 — модель з необхідністю визначення
найбільш доцільного способу дій за умови відсутності активної протидії.
2 — ці моделі належать власне до найбільш досліджених моделей теорії
ігор. 3 та більше — досліджені лише спеціальні випадки внаслідок
принципових труднощів визначення поняття положення рівноваги в такій
грі. Зі зростанням кількості гравців труднощі розв’язання таких ігор
зростають.

Кількість стратегій: скінчені та нескінчені.

Якщо в грі кожен з гравців має скінчену множину можливих стратегій, то
гра є скінченою, якщо ж хоча б один з гравців має безмежну множину
стратегій, то гра є нескінченою. Зі зростанням кількості стратегій
зростає складність розв’язання ігор.

Характер взаємин.

За цією ознакою ігри поділяються на безкоаліційні, коаліційні та
кооперативні.

Безкоаліційними є ігри, в яких заборонені угоди між гравцями та
утворення коаліцій (наприклад, чемпіонат світу з футболу).

Коаліційними називаються ігри, в яких гравці можуть утворювати коаліції
(військові ігри, економічні ситуації, пов’язані з оволодінням певними
ринками збуту).

Кооперативними є ігри, в яких коаліції відомі наперед та залишаються
незмінними протягом гри.

Характер виграшів.

За цією ознакою ігри поділяються на ігри з нульовою сумою та ігри з
ненульовою сумою. В грі з нульовою сумою сума виграшів всіх гравців в
кожній партії рівна нулю, тобто в цій грі загальний капітал всіх гравців
не змінюється, а перерозподіляється між гравцями в залежності від
результатів гри.

Гра двох гравців з нульовою сумою називається антагоністичною, оскільки
цілі гравців в ній прямо протилежні; виграш одного гравця досягається за
рахунок програшу іншого.

Прикладом гри з ненульовою сумою є торговельні взаємовідносини між
країнами — в результаті застосування своїх стратегій всі країни можуть
бути в виграші.

Будь-яка гра, в якій необхідно виплачувати вступний внесок за право
участі в ній, є грою з ненульовою сумою; у витраті завжди особа, що
отримала внесок. В лотереї організатор завжди має виграш, а учасники гри
отримують сумарний виграш менший, ніж внесли.

Вигляд функції виграшів.

За цією ознакою ігри поділяються на матричні, біматричні, неперервні,
опуклі, сепарабельні, типу дуелей та ін.

Матрична гра — це скінчена гра двох осіб, в якій виграші першого гравця
задаються елементами матриці і дорівнюють програшам другого гравця.
Матричні ігри розв’язуються за допомогою методів лінійного
програмування.

В біматричних іграх виграш кожного з гравців задається окремою матрицею,
і ці ігри є складнішими для розв’язування.

Якщо функція виграшу в грі може бути представлена у вигляді суми функцій
одного аргумента, то така гра є сепарабельною (може бути розділеною).

Дуель — це гра, що характеризується моментом вибору ходу та
ймовірностями отримання виграшу в залежності від часу, що пройшов від
моменту початку гри до моменту вибору.

Приклад: кожна фірма вкладає капітал в певний момент часу; чим раніше
буде здійснене вкладення, тим менша вірогідність оволодіти ринком, однак
і при занадто пізньому вкладенні ринок збуту буде втрачено.

Кількість ходів.

За цією ознакою ігри поділяються на однокрокові та багатокрокові.

Однокрокові ігри завершуються після того, як кожен з гравців зробить по
одному крокові. Матрична гра є однокроковою.

Багатокрокові ігри своєю чергою поділяються на позиційні, стохастичні та
диференційні.

Позиційні ігри полягають у тому, що кожен з гравців робить декілька
ходів послідовно в часі, і виграші визначаються в залежності від
результату гри.

Якщо ж у грі робляться ходи, що приводять до вибору певних позицій,
причому існує певна вірогідність повертання на попередню позицію, то
така гра називається стохастичною.

Якщо ходи робляться неперервно і умови їх проведення описуються
диференційними рівняннями (гра типу “хижак-жертва”), то така гра
називається диференційною.

Стан інформації.

За цією ознакою розглядаються ігри з повною та неповною інформацією.

Якщо на кожному ході гри кожному з гравців відомо, які вибори були
зроблені гравцями раніше, то гра є з повною інформацією (шахи, шашки).

Якщо ж у грі не все відомо про попередні вибори, то гра буде з неповною
інформацією.

Предметом теорії ігор є дослідження конфліктних ситуацій методом
математики. Однією з характерних і суттєвих рис громадського,
соціально-економічного процесу є розмаїття та різноплановість інтересів
і наявність сторін, які є носіями таких інтересів. Класичними прикладами
є ринкові відносини: продавець-покупець; кілька виробників товару, які
можуть об’єднуватися та встановлювати ціну товару; кілька конкуруючих
між собою виробників. Більш складні конфліктні ситуації обумовлені
наявністю об’єднань та груп, інтереси яких не співпадають: визначення
рівня заробітної плати об’єднанням профспілок і підприємців та ін.

Конфлікт може виникнути також через розбіжності цілей, які
віддзеркалюють не лише несполучні інтереси різних осіб або сторін, а
також різноманітні інтереси однієї і тієї ж особи. Наприклад, планування
економічної політики на певний період вимагає узгодження протилежних і
несполучних вимог: зростання обсягів виробництва, збільшення прибутків,
покращання екології і т. ін.

ph

0

H

j

?

?

a

??

.

0

< F H h j ? ? ¶ ? TH a ? ? ? 1/4 O U - @ B ` b ? ? ? ¬ AE E e i B b ? ¬ E i ?? ???? ?? ph/ної невизначеності. Прикладами гри є також різноманітні карточні та спортивні ігри, доміно тощо. Будь-яка математична модель перебігу економічного, соціального та інших процесів має адекватно віддзеркалювати притаманні їм особливості конфлікту та методи його вирішення: а) перелік зацікавлених сторін, які будемо називати гравцями; в літературі з теорії гри користуються й іншими назвами: сторони, учасники і т. ін.; б) перелік можливих дій усіх учасників гри в залежності від ситуації; кожна можлива дія називається ходом або стратегією; в) інтереси сторін, представлені певною мірою; залежності таких інтересів від ситуації описуються так званими функціями виграшу. Віддзеркалення змісту конфлікту в аналітичних залежностях створює математичну модель, яку називають грою. 2. Прийняття рішень в умовах невизначеності. Характеристика задач стохастичного програмування. Задачі прийняття рішень в умовах невизначеності близькі за ідеями та методами до теорії ігор, основною відмінністю є відсутність конфліктного забарвлення — ніхто нікому не протидіє, але наявний елемент невизначеності. Таким чином, невідомі умови операції залежать не від свідомого суперника, а від об’єктивної реальності – “природи”, яка є байдужою інстанцією. Поведінка природи невідома, але не протидіюча. Зовнішньо при наявності стратегій гравця та природи гра з природою представляється матрицею, але відсутність протидії робить ситуацію якісно іншою. Найпростішим випадком є такий, коли одна зі стратегій гравця А домінує всі інші його стратегії — зрозуміло, що вона буде найкращою. Але не природи - гравця П (йому все одно, яку стратегію обирати). Таким чином, вибір можна звузити, виключивши з розгляду всі доміновані та еквівалентні стратегії гравця А . Окрім того, бажано ввести такі показники, які б не просто давали виграш при даній стратегії в кожній ситуації, але й відображали б “вдалість” або “не вдалість” вибору тієї чи іншої стратегії в конкретній ситуації. З цією метою вводиться поняття ризику, як різниці між виграшем, який можна було б отримати, якщо б ми знали умови природи - її стратегію Пj , та виграшем, який ми отримаємо, не знаючи їх та обираючи стратегію Аi , . (6) Ризик — це, по суті, плата за відсутність інформації, і тому, звичайно, бажано би було мінімізувати ризик, що супроводжує вибір рішення. Таким чином, маємо 2 постановки задачі - в одній необхідно отримати максимальний виграш, а в іншій - мінімізувати ризик. і оптимальною стратегією Аk буде та, для якої (7) . Нехай тепер ймовірності природи існують, але невідомі нам. Згідно з критерієм Лапласа, всі стани природи вважаються рівноймовірними. Однак застосовувати його в більшості випадків не рекомендується, оскільки а багатьох випадках апріорі більш-менш відомо, як відрізняються вірогідності. В цьому випадку, якщо є можливість, необхідно провести експертне опитування, або ж спробувати накопичити інформацію в результаті проведення декількох ігор з природою. Якщо ж невизначеність “погана”, якщо вірогідностей природи взагалі не існує, або ж вони не піддаються навіть приблизній оцінці, то в залежності від позиції дослідника застосовуються наступні критерії. Максимінний критерій Вальда В. Згідно з цим критерієм, гра з природою ведеться як гра з агресивним та розумним суперником, і обирається стратегія з індексом k , для якої . (8) Це є позиція крайнього песимізму, і стосовно природи є перестрахувальною. Критерій мінімального ризику Севіджа С. Цей критерій є теж вкрай песимістичним, але при виборі оптимальної стратегії орієнтує на мінімальний ризик. В якості оптимальної стратегії обирається така з індексом k , для якої величина ризику в найгірших умовах мінімальна — . . (9) Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца Н. Цей критерій рекомендує при виборі розв’язку не орієнтуватися ні на песимізм, ані на оптимізм, і має вигляд: , (10) коефіцієнт песимізму, коли рівний 1 -Гурвіца, 0- скрайнього оптимізму . Характеристика задач стохастичного програмування. У моделях теорії гри прийняття управлінських рішень пов’язане з розв’язанням задач, які умовно можна розділити на класи: 1) прийняття рішень за умов однозначності вихідних даних і перебігу керованого процесу в майбутньому; це так звані детерміновані задачі; 2) прийняття рішень за умов неоднозначності як вихідних даних, так і перебігу процесу в майбутньому, коли умови можна оцінити лише з певною мірою ймовірності; це стохастичні задачі управління; 3) прийняття певних рішень за умов невизначеності. Математичні моделі обгрунтування рішень у задачах першого класу досить широко та змістовно розроблені з використанням певних методів оптимізації: лінійного та нелінійного математичного програмування, теорії управління процесами, перебіг яких моделюється диференціальними та інтегральними рівняннями, динамічного програмування. Стохастичні моделі управління використовуються за умов, коли відомі можливі стратегії досягнення мети та ймовірні наслідки використання певної стратегії, але модельовані процеси такі, що не можна гарантувати однозначності їх перебігу. Для пошуку стратегій, оптимальних за обраним критерієм якості, використовуються методи, які в цілому можна характеризувати як “оптимізацію в середньому”: оцінюється математичне сподівання показника ефективності кожної з можливих стратегій. Такий підхід дозволяє стохастичну задачу обгрунтування управлінського рішення звести до певної детермінованої задачі. У моделях третього класу досліджується розв’язання задач, для яких характерно те, що про умови перебігу досліджуваного процесу принципово не можна мати певної інформації ні детермінованої, ні стохастичної. Умови невизначеності поділяються на два класи: а) перебіг процесу визначається до певної міри наявністю факторів, обумовлених цілеспрямованою дією свідомо протидіючих учасників, які мають певну, але не відому конкретно кожному мету, наприклад, умови конкуренції на вільному ринку, військове або політичне протистояння; б) процес, стосовно якого необхідно прийняти управлінські рішення, має відбуватися за умов певної невизначеності, але без активної цілеспрямованої протидії та певної байдужості як до умов, так і до наслідків процесу; це так звана природна невизначеність. Для розбудови моделей ігор з природою необхідно врахувати, що “партнер” не має на меті активну протидію та байдужий до наслідків керованого процесу. Ці обставини обумовлюють певну специфіку побудови моделей гри. Рівень знань законів природи часто недостатній для побудови навіть статистичних моделей щодо багатьох керованих людиною процесів, а іноді бажане сприймається за дійсне. Розглянемо деякі особливості побудови моделей гри “людина – природа”. Приймаючи рішення, людина може скористатися кількома стратегіями- А1, А2, ..., Аm . Вплив природи на досліджуваний процес можна також змоделювати як використання певної множини стратегій П1, П2, ..., Пn . Якщо з попереднього досвіду відомі ймовірності можливих станів природи, то такі ймовірності називаються апріорними (доекспериментальними). Якщо людина шляхом експерименту може вдосконалити свої знання про відповідні стани природи стосовно керованого процесу та їх ймовірності, то такі ймовірності називаються апостеріорними (післяекспериментальними). Але необхідно пам’ятати, що експерименти вимагають і коштів, і часу (особливо в економіці) саме тоді, коли рішення необхідно приймати терміново. Тому розглянемо моделі гри з природою без експериментів. Плануючи свої дії, людина може користуватися як деякими чистими стратегіями Аi (i = 1, 2, ..., m ) , так і змішаними: , за умови, що є можливість оцінити наслідки використання будь-якої чистої стратегії в залежності від будь-якого довільного стану природи Пj , тобто для кожної допустимої сполуки (Аi , Пj ) відомий чисельний результат aij можна задати матрицю виграшів А досліджуваної гри (табл. 1). Елементи матриці А позначимо aij , наголошуючи на умовності поняття “виграшів”. Таблиця 1. Пj Ai П1 П2 ……………… Пn pi A1 . . Am a11 . . am1 a12 . . am1 ………………. ………………. ………………. ………………. a1n . . amn P1 . . qj q1 q2 ……………… qn Природно, що перш ніж обрати оптимальну стратегію необхідно проаналізувати матрицю А та спростити її, враховуючи можливі домінуючі стратегії людини. Відхиляти стратегії (стани) природи недопустимо, бо природа може перебувати в своєму довільному стані незалежно від того, чи корисно це людині. У задачах досліджуваного типу за критерій ефективності стратегій Аi , приймають математичне сподівання аi виграшу за умови використання i -ої стратегії, тобто: (11) - апріорні ймовірності можливих станів природи Пj . За оптимальну обирається стратегія, за якої величина аi , (11) досягає найбільшого значення. Оскільки оптимальну стратегію задач гри з природою доцільно шукати серед чистих стратегій (природа не може комбінувати свої стани), то користуються іншим методом пошуку, ніж з використанням математичного сподівання величини виграшу (11). Маючи матрицю виграшів (табл. 1), обчислюють так звану матрицю ризиків, яка дозволяє більш чітко виявити переваги певної стратегії за даного можливого стану природи. , який можна було б одержати, якби природа достовірно була в стані Пj , та виграшем aij , який можна одержати, використовуючи стратегію Аi та приймаючи Пj за можливий стан природи. Таким чином, елементи rij матриці R ризиків обчислюються за формулою: (i =1,2,…,m; j =1,2,…,n) (12) . 3. Задача оптимізації випуску продукції за умов залежності прибутку від попиту. Приклад. Підприємство може випускати чотири види продукції A1, A2, A3, A4 , одержуючи прибуток у залежності від попиту, який умовно може бути визначений трьома різними станами В1, В2, В3 . Побудуємо матрицю виграшів H , елементи якої hij визначають прибуток підприємства за умови випуску i -ої продукції при j -му попиті на неї. B1 B2 B3 (13) Визначити оптимальні пропорції у виробництві продукції, які б гарантували деяку середню величину прибутку за будь-якого попиту, вважаючи його невизначеним. Проаналізувавши матриці, доходимо висновку, що третій рядок домінує над четвертим, тому для подальшого четвертий рядок вилучимо. Економічно це означає недоцільність виробництва продукції четвертого виду за даних умов. Розв’язання задачі побудуємо як дослідження моделі гри виробника з невідомими умовами попиту. Визначимо верхню та нижню ціни гри. Розрахунки наведені в табл. 2. Таблиця 2. Попит Вид продукції B1 B3 B4 9 6 8 4 6 , то задача не має розв’язку в чистих стратегіях і оптимальний розв’язок будемо шукати у змішаних стратегіях: Введемо нові змінні хi = pi0/ V (і = 1, 2, 3) та yj =qj0/ V ( j =L 2. 3). Запишемо дві спряжені задачі, лінійного програмування: задача 1 задача 2 1 1 (14) 1 0 ; j =1,2,3 Розв’яжемо симплекс-методом задачу 2, бо для неї легше знайти допустимий базисний розв’язок. Приведемо задачу 2 до стандартного вигляду, скориставшись додатковими змінними: 3y1 + 6y2 + 8y3 + y4 = 1 9y1 + 4y2 + 2y3 + y5 = 1 (14) 7y1 + 5y2 + 4y3 + y6 = 1 0 ; j =1,2,3 = (0; 0; 0; 1; 1; 1). Введемо в базис у2 та вилучимо з базису у4 . Виконавши аналіз симплекс-таблиці першого кроку симплексних перетворень, доходимо висновку, що з базису доцільно вилучити у6 та ввести у1 . = (1/27; 4/27; 0; 0; 2/27; 0). Використовуючи теореми про властивості розв’язків спряжених задач, визначимо оптимальний розв’язок задачі 1 (14): x1 x2 x3 x4 x5 x6 y4 y5 y6 y1 y2 y3 2/27 0 1/9 0 0 1/27 обчислюємо ціну гри V =1/max Z* = 1/min Z = 27/5 = 5,4. Таблиця 3. Вихідна симплекс-таблиця БЗ ВЗ bi0 / bis -y1 -y2 -y3 y4 1 3 6 8 1/6 y5 1 9 4 2 1/4 y6 1 7 5 4 1/5 f 0 -1 -1 -1 Перший крок симплексних перетворень БЗ ВЗ bi0 / bis -y1 -y4 -y3 y2 1/6 3/6 1/6 8/6 1/3 y5 1/3 7 -4/6 -10/3 1/27 y6 1/6 9/2 -5/6 -8/3 1/27 f 1/6 -1/2 1/6 1/3 Другий крок симплексних перетворень БЗ ВЗ bi0 / bis -y6 -y4 -y3 y2 4/27 -1/9 7/27 44/27 y5 2/27 -14/9 17/27 22/27 y1 1/27 2/9 -5/27 -16/27 f 5/27 1/9 2/27 1/27 : рi0 = xi0V ( і = 1, 2, 3). Отже, р10= 5,4 х 2/27 = 0,4; р20 = 5,4 х 0 = 0; рз0 = 5,4 х 1/9 = 0,6. Таким чином, підприємству доцільно випускати 40% продукції А1 , 60% продукції А3 і не випускати продукцію А2 . оптимальну стратегію попиту SB0, маємо: q10 = 0,2; q20 = 0,8; q30 = 0. Таким чином, оптимальний попит знаходиться на 20% у стані В1 та на 80% у стані В2 . Оптимальним результатам можна дати різне тлумачення, виходячи з конкретної ситуації, наприклад, сезонний попит, попит територіальний і т. ін. Треба врахувати й очікуваний попит, якщо необхідно зберігати продукцію. При розв’язанні задач скінченних ігор розмірності т x п доцільно дотримуватися такої схеми: 1) виключити з вихідної платіжної матриці явно невигідні стратегії; 2) знайти верхню та нижню ціни гри та перевірити, чи має гра сідлову точку. Якщо така точка є, то відповідні їй стратегії будуть оптимальними, гра має розв’язок у чистих стратегіях, а ціна гри дорівнює верхній (нижній) ціні; 3) якщо сідлова точка відсутня, розв’язання гри необхідно шукати у змішаних стратегіях, приводячи, наприклад, до задачі лінійного програмування. На практиці розв’язок у змішаних стратегіях може бути реалізований по-різному. Наприклад, чисті стратегії використовуються в послідовності, заданій відповідними ймовірностями за умови, що гра може повторюватися багато разів. Література Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. -М.: Мир, 1964. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. Сов. радио, 1964. Пономаренко О.І., Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, бізнесі й менеджменті. -К.: Либідь, 1995. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математичної економіки. -К.: Інформтехніка, 1995. Горелик В.А., Ушаков М.А. Исследование операций. -М.: Машиностроение, 1986. PAGE PAGE 16

Похожие записи