Реферат на тему:

Дослідження функцій

за допомогою похідних

Означення. Функція y=f(x) має мінімум (максимум) у точці x0 , якщо
існує такий окіл точки x0 , що для всіх точок x(x0 цього околу
виконується нерівність f(x0)0, а при x>x0 похідна f((x)<0, то точка x0 є точкою максимуму. Якщо ж похідна f((x) в деякому околі точки x0 змінює знак з від’ємного на додатний, то точка x0 є точкою мінімуму. Теорема (друга достатня умова існування екстремуму). Якщо в точці x0 диференційовної функції y = f(x) перша похідна f((x)=0 , а друга f(((x)<0 , то в цій точці є максимум (мінімум, якщо f(((x)>0) .

Поняття мінімуму та максимуму не треба плутати з поняттями найбільшого
та найменшого значень функції на деякому інтервалі.

Зазначимо, що умова f((x)=0 не є достатньою для існування екстремуму
функції y=f(x).

Нехай y = f(x) — деяка функція та (x0;y0) — точка з області визначення
цієї функції. Проведемо через точку (x0;y0) дотичну до кривої (рис.
5.2).

y y=f(x)

(y

dy

dx=(x

(

x0
x

Рис. 5.2.

Рівняння цієї дотичної – це пряма

y = f(x0) +f((x0)(x-x0)
(5.2)

Величина f((x0) = k = tg( є нахилом кривої y=f(x) в точці x0 .

Означення. Диференціалом від функції y=f(x) називається вираз
dy=f((x)dx, де dx = (x — приріст аргументу (рис. 5.2).

Приклад. Нехай y = ln(x2+1) .

.

Приклад. Знайти екстремуми та інтервали зростання і спадання функції
y = x3 – 6×2 +9x.

Знаходимо похідну y( =3×2 – 12x +9.

Розв’язуємо рівняння 3×2 – 12x +9=0 , звідки x1=1; x2=3.

Досліджуємо знаки першої похідної

Інтервал (-?; 1) 1 (1; 3) 3 (3; +?)

Знак f((x) + 0 — 0 +

Поведінка y=f(x) Зростає Максимум Спадає Мінімум Зростає

Точки x1=1 та x2=3 можна також дослідити згідно з другою достатньою
умовою екстремуму:

y((x) = 6x – 12;

y((1) = — 6 < 0, отже, в точці x=1 функція y = x3 – 6x2 +9x досягає максимуму; y((3) = 6 > 0, отже, в точці x=3 ця функція має мінімум.

Означення. Функція f(x) називається випуклою (випуклою вверх) на
відрізку [a;b] , якщо на цьому інтервалі її графік розташований нижче
від її дотичної (рис. 5.3,а). Функція f(x) називається увігнутою
(випуклою вниз), якщо на [a;b] цей графік розташований нижче від
дотичної (рис. 5.3,б).

y y

a b a
b

а x
б x

Рис. 5.3.

Теорема (достатня умова випуклості). Якщо у всіх точках інтервалу [a;b]
друга похідна f((x) двічі диференційовної функції y=f(x) є додатною
f((x)>0, то функція y=f(x) є увігнутою на [a;b] . Якщо f((x)<0 , то функція y=f(x) випукла на інтервалі [a;b] . Означення. Точка x0, у якій функція y=f(x) змінює увігнутість на опуклість (або навпаки), називається точкою перегину функції y=f(x) (рис. 5.4). Теорема (достатня ознака існування точки перегину). Якщо в точці x0 існує перша похідна f((x) і f((x)=0 , причому друга похідна f((x) змінює знак, то точка x0 є точкою перегину функції y=f(x) (рис. 5.4). y x0 x Рис. 5.4. Приклад. Знайти інтервали випуклості та увігнутості функції y = x3 - 6x2 + 9x . Друга похідна y((x)=6x-12 дорівнює нулю в точці x=2. Тому визначимо знаки цієї другої похідної на інтервалах (-?;2) та (2;?). Аргумент x (-?;2) 2 (2;?). Друга похідна y((x) <0 0 >0

Функція y=f(x) Випуклість Перегин Увігнутість

Отже, функція y(x) є випуклою на інтервалі (-?;2), у точці x=2 має
перегин, а на інтервалі (2;?) увігнута.

Приклад. Дослідити властивості логістичної кривої (рис. 4.12).

.

.

:

. Оскільки для всіх t вираз 0,5t є завжди додатним, то перша похідна
y((x) ніколи не перетворюється в нуль, отже, логістична крива
екстремумів не має.

Знайдемо другу похідну від y(t), тобто обчислимо

Розв’яжемо рівняння y((t) = 0 на інтервалі t>0, тобто рівняння

0,01-0,1(0,5t = 0 ,

звідки 0,5t = 0,1;

tlg0,5 = lg0,1;

t(-lg2) = -1;

t0 = 1/lg2 ( 3,32.

.

На інтервалі 00). Дослідимо цю функцію (рис. 4.13).

завжди є додатнью на інтервалі z>0.

від’ємна.

Отже, витрати на споживання y збільшуються зі зростанням доходу z, проте
швидкість цього зростання зменшується (граничні витрати зменшуються).

.

Отже, витрати на споживання цього товару не можуть перевищити a.

Приклад. На інтервалі (0,1; 0,5) залежність розміру надходжень до
бюджету y від ставки оподаткування x описує крива (функція) Лаффера
(рис. 5.5):

.

Дослідимо цю функцію, обчисливши першу та другу похідні:

;

.

y

50

0,3 x

Рис. 5.5.

Легко бачити, що при x=0,3 похідна y((x)=0, причому друга похідна
y((x)>0 . Отже, ставка оподаткування x=0,3 = 30% в нашому прикладі дає
найбільше надходження до бюджету.

Із рівняння y((x) = 0 знаходимо точки перегину кривої

.

Похожие записи