Реферат на тему:

Дослідження функцій

Вступ

Математичний аналіз — сукупність розділів математики, що спираються на
поняття функції і на ідеї числення нескінченно малих. Важко логічно
провести межу між математичним аналізом та іншими розділами математики:
за історичною традицією під назвою «математичний аналіз» об’єднуються
диференційне та інтегральне числення, основи теорії функцій і
диференціальних рівнянь і ряд інших розділів математики, що виникли в
систематичній формі в результаті праць математиків 17—18 століття.
Природнім продовженням класичного математичного аналіза є функціональний
аналіз, в який входять як спеціальні розділи варіаційне числення і
теорія інтегральних рівнянь, що виникли раніше загального
функціонального аналізу.[1] Як розділ математики, математичний аналіз
оформився наприкінці 17 століття, але його апарат постійно
вдосконалюється і розвивається.

Історія виникнення

В історії математики можна умовно виділити два основні періоди:
елементарної та сучасного математики. Межею, від якої ведеться відлік
епохи нової (іноді — вищої) математики, стало XVII століття. Саме в XVII
столітті появився математичний аналіз. До кінця XVII ст. І. Ньютоном, Г.
Лейбніцем та їх попередниками було створено апарат диференційного і
інтегрального числення, що становить основу математичного аналізу і
навіть математичну основу всього сучасного природознавства.

Рух, змінні величини і їхня взаємозв’язку оточують нас всюди. Різні види
руху їх закономірності становлять основний об’єкт вивчення конкретних
наук: фізики, геології, біології, соціології та ін.. Тому точна мова і
відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися
необхідними в усіх областях знань приблизно як числа й арифметика
необхідні для опису кількісних співвідношень. Отож математичний аналіз
став основою мови і математичних методів опису змінних величин та
зв’язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б
не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів,
закономірності розвитку циклону, а й єфективно керувати виробництвом,
розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це —
динамічні процеси.

Елементарна математика була переважно математикою постійних величин,
вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних
фігур, арифметичні властивості чисел і алгебраїчні рівняння.

Передумови появи математичного аналізу

До кінця XVII ст. склалася ситуація коли в математиці було накопичено
занання про розв’язки деяких важливих класів задач (наприклад, задачі
про обчислення площ і об’ємів нестандартних фігур, задача проведення
дотичних до кривих), а також з’явилися методи розв’язання різних
часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов’язані з задачами
опису деякого (не обов’язково рівномірного) механічного руху, й зокрема
обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в
будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі,
що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв’язок цих проблем був
необхідним для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До
середини XVII ст. в працях Р. Декарта і П. Ферма було закладено основи
аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які
дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і
фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових
функцій).

Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII ст. двом ученим І.
Ньютону і Г. Лейбніцу — незалежно один від одного вдалося створити
математичний апарат для розв’язку вказаних задач. В своїх працях ці
вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від
Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Б. Кавальєрі, Б.
Паскаль, д. Грегорі, І. Барроу. Цей апарат і склав основу математичного
аналізу — нового розділу математики, який вивчає різні динамічні
процеси, тобто взаємозв’язки змінних величин, які математики називають
функціональними залежностями чи функціями. До речі, сам термін «функція»
виник саме в XVII ст., а в наш час він придбав не тільки
загальноматематичне, а й загальнонаукоуве значення.

Теоретичні відомості до першої частини

Неперервна функція

Неперервна функція — одне з основних понятть математичного аналізу.
Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні,
множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій
(за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас
функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної
функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує
просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке:
функція f(x) дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам ?x аргумента
x відповідають малі зміни ?f значення функції, що можна записати так:
коли Це означає, що графік неперервнoї функції не має стрибків, тобто
може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі
елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Означення

, якщо f(x) неперервна в кожній точці цієї області.

Функція неперервна в точці

, x0 — гранична точка множини A.

Функція f називається неперервною в точці x0 якщо:

якщо функція f(x) визначена в точці x0.

.

Частина 1

Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік

Розв?язання:

Функція f(x) визначена на всій числовій осі. Але з цього не випливає, що
вона є неперервною на числовій осі, так як вона задана трьома різними
формулами для різних інтервалів зміни аргументу х і може мати розрив в
точках х=-2 і х=1, де змінюється її аналітичний вираз.
Дослідимо точку х=-2. Визначимо односторонні границі в цій
точці.

Тут лівосторонні і правосторонні границі скінченні, але не рівні між
собою, тобто не виконується друга умова неперервності функції. Так як,
односторонні границі f(x) в точці х=2 не рівні між собою в цій точці
функція має розрив першого роду (скінченний розрив)

називають різницю її односторонніх границь

,

якщо ці границі різні. Знайдемо стрибок функції в точці х=-2

Дослідимо точку х=1. Визначмо односторонні границі в цій точці

Отже, і в точці х=1 дана функція має розрив першого роду. Знайдемо
стрибки функції в цій точці:

Виконаємо побудову графіка даної функції:

Дослідити функцію на неперервність в вказаних точках

Розв’язання:

При х=-2 дана функція не існує: в цій точці функція терпить розрив.
Визначимо односторонні границі функції при x?-2 зліва і справа

=1

Маємо:

, так як знаменник дробу показника прямуватиме до нуля залишаючись
додатнім.

Таким чином, при х=-2 дана функція має розрив другого роду. При х=-1
Дана функція є неперервною, так як виконується всі три умови
неперервності функції

Теоретичні відомості до другої частини

Асимптота

Перейти до: HYPERLINK
«http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE
%D1%82%D0%B0» \l «column-one» навігація , HYPERLINK
«http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE
%D1%82%D0%B0» \l «searchInput» пошук

Асимптота кривої (грец. ?????????? — що не збігається, не дотикається) —
це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як
завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при
наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається
вертикальною асимптотою цієї кривої.

f(x)=1/x

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x
= k? (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).

f(x)=ctg(x)

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й
горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е-x sin(х), проте
він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту
нескінченну кількість раз (+графік).

Криві, що описуються рівняннями х? + у? — Заху = 0 (декартів лист)
(+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

f(x)=1/x+x

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0.
Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції,
оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до
властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре
вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у
сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад парабола асимптот не має.

Границя функції в точці

Перейти до: HYPERLINK
«http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F
_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D1
%86%D1%96» \l «column-one» навігація , HYPERLINK
«http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F
_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D1
%86%D1%96» \l «searchInput» пошук

, x0 —гранична точка множини A. Число a називається границею функції f в
точці x0, якщо

Позначення:

Екстремум

Екстремум (рос.экстремум, англ. extremum, нім. Еxtremum n) – найбільше
та найменше значення функції.

Розрізняють:

локальний – екстремум в деякому довільно малому околі даної точки, і

??

глобальний – екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.

Частина 2

Розв’язання:

Визначимо спочатку область визначення даної функції. Вираз, що стоїть
під знаком логарифма повинен бути додатнім.

>0

Якщо в деякому інтервалі крива розміщена нижче довільної дотичної, то
вона називається опуклою в гору, а якщо вона розміщена вище від
довільної своєї дотичної, то вона називається опуклою вниз в цьому
інтервалі.

Точкою перетину називається точка на кривій, де змінюється напрям її
опуклості.

– опуклою в ньому).

шукають користуючись наступним правилом:

, або не існує і які лежать у середині області визначення.

2) Визначають знак y’’ зліва і справа від кожної з цих точок.

Досліджувана точка х буде абсцисою точки перетину, якщо по різні сторони
від неї y’’ має різні знаки. Інтервали, де крива опукла вгору і випукла
вниз визначаються з умови, що їх межами можуть бути тільки абсциси точок
перетину, точки розриву і граничні точки область розміщення кривої.

, або не існує, а крива неперервна і які лежать всередині області
визначення.

, яка не може бути абсцисою точки перетину, так як не належить ОДЗ. y’’
не існує в точках х=0 і х=3, але ці точки не можуть бути абсцисами точок
перетину, так як вони є точками розриву.

, тому в цьому інтервалі крива напрямлена опуклістю вниз.

4. Знайти асимптоти графіка функції.

Розв’язання:

Для знаходження асимптоти користуються наступними положеннями.

функція прямує до нескінченності (того або іншого знака), то пряма х=а
є вертикальною асимптотою

визначаються :

, одержимо рівняння невертикальної асимптоти

5. Провести повне дослідження зазначеної функції і побудувати її графік.

Розв’язання:

Функція терпить розрив при х=-1. При всіх інших значеннях аргументу вона
неперервна.

Інтервали, де функція зберігає знак (інтервали знакосталості)
визначаються з умови, що їх межами можуть бути тільки точки перетину
графіка функції з віссю ОХ, точки розриву і межі визначення функції. Для
досліджуваної функції такими точками х є точки:

функція набуває додатніх значень, так як, наприклад, Y(3)>0

для визначення невертикальних асимптот.

, одержимо рівняння невертикальної асимптоти

будуть ті самі.

Знайдемо точки екстремуму і інтервали зростання і спадання функції.
Знаходимо похідну.

, які є критичними. y’ не існує в точці x=-1, але ця точка не є
критичною так як є точкою розриву.

Дослідимо критичні точки, визначаючи знак y’ зліва і справа від кожної з
цих точок. Для скорочення обчислень і для точності це дослідження зручно
записати у виді слідуючої таблиці:

є точка максимуму

є точка мінімуму

Знайдемо точки перетину графіка функції і інтервали опуклості та
вгнутості. Для цього знаходимо другу похідну.

Помічаємо, що друга похідна ні при якому значенні аргументу не
перетворюється в нуль. Отже, графік досліджуваної функції не має точок
перетину. Лівіше від точки розриву х=-1 друга похідна

крива вгнута.

Враховуючи результати дослідження будуємо ескіз графіка даної функції

6. Провести повне дослідження даної функції і побудувати її графік

Розв’язання:

Встановимо область визначення функції. Квадратний тричлен, що
знаходиться під знаком логарифма, можна залишати наступним чином:

Помічаємо, що під знаком логарифма буде додатне число при довільному
значенні аргументу Х. Отже, областю визначення даної функції є вся
числова вісь. Функція всюди неперервна і не має точок розриву.

, то функція не належить ні до парних ні до непарних.

Якщо х=0, то одержуємо рівняння:

, яке не має розв’язку.

Графік функції не має вертикальної асимптоти, так як дана функція всюди
неперервна. Для визначення параметрів похилих асимптот, скористаємось
формулами:

Щоб знайти останню границю двічі скористаємось правилом Лопеталя.

Отже, дана крива не має асимптот

Дослідимо функцію на екстремум. Знайдемо першу похідну.

для довільного значення х. помічаємо, при x<4 перша похідна від’ємна, а при x>1 додатна. При x=1 перша похідна змінює свій знак х мінуса на
плюс. В цій точці функція має мінімум:

Знайдемо точки перетину графіка функції і інтервали опуклості і
вгнутості.

так як, наприклад y’’(0)>0. В третьому інтервалі y’’<0 так як, наприклад, y’’(4)<0 друга похідна змінює знак. Тому ці значення аргументу х абсцисами точок перетину. Визначимо ординати цих точок. і вгнутим в інтервалі Будуємо ескіз графіка даної функції Розв’язання: Для знаходження найбільшого або найменшого значення функції f(x) на відрізку [a; b], де вона неперервна : Знаходять критичні точки, що лежать всередині відрізка [a; b] і обчислюють значення функції в цих точках, не вдаючись в дослідження чи буде в них екстремум і якого виду; Обчислюють значення функції на кінцях відрізка, тобто f(a) і f(b) Порівнюють одержані значення функції: найбільше з них буде найбільшим значенням функції на даному відрізку, а найменше – найменшим значенням функції на всьому даному відрізку. Знайдемо критичні точки функції y(x), що лежать всередині відрізка [-4; 0], і обчислимо значення функції в цих точках. Знаходимо похідну лежить всередині відрізка [-4; 0]. Знайдемо значення функції в цій точці Обчисляємо значення функції на кінцях відрізка [-4; 0]. і досягається у внутрішній критичній точці х=-3 ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА Ляшко І.І. Математичний аналіз в 2-х ч. Ч.1.( К: Вища шк., 1992. ( 494 с. Овчинников П.П. Вища математика: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення. В 2-х ч. Ч.1. ( К.: Техніка, 1999. ( 592 с. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для студентов вузов в 2-х частях. Ч.1. ( М.: Высш. шк., 1986. ( 415 с. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математики. ( М.: Наука, 1986. ( 317 с. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика. ( К.: ЦУЛ, 2002. ( 400 с. Положення про курсову роботу (проект) (ДПСЯ М –9-7.5.1-47-54-04). ( Полтава: ПУСКУ, 2004. ( 22 с. PAGE

Похожие записи