Реферат на тему:
Диференційовність функції двох змінних
Частинні та повний прирости функції двох змінних
також належатимуть розглядуваному околу (рис. 5.18).
Рис. 5.18
. Таким чином,
,
.
Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох
змінних.
Диференційовність функції двох змінних
можна подати у вигляді:
,
.
.
і вони дорівнюють відповідно А і В.
визначена в точ-
змінна х вважається сталою.
Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:
у точці).
.
.
дістанемо:
.
Дістанемо:
.
.
.
:
можна обчислити за формулою
.
обчислюється за формулою
.
.
.
.
.
, де
;
, отже,
.
.
Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці
Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та
існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми
маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова
диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою
диференційовності: наприклад, для функції
недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково
вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі
теореми.
.
Зауваження. Можна навести твердження про зв’язок між поняттями
неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці,
аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної.
, то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.
5.2.4. Диференціювання складної функції
, причому
.
.
.
.
.
Дотична площина та нормаль
, то виконується рівність
або
, дістанемо:
(5.3)
На формулі (5.3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для
наближених обчислень.
, дістанемо
.
має вигляд:
, (5.4)
.
і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння
.
Похідна за напрямом. Градієнт
, якщо вона існує, називається похідною
.
Рис. 5.19
за додатним напрямом осі Оу.
.
, причому
,
.
.
.
Тоді за формулою похідної за напрямом дістанемо:
.
у точці (1; 1) за напрямом бісектриси першого координатного кута.
у точці (1; 1):
;
.
Отже,
.
ue
0
2
X
Z
\
^
b
d
?
?
?
?
E
I
ue
th
,.024H\np–????Oaeae
B
D
j
l
n
p
„
†
¬
®
°
?
A
A
I
?
oe
o
j
j
j
j
j
— одиничні орти):
подається у вигляді:
визначається так:
.
у точці (1; 2; –1).
( Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 2; –1):
,
.
.
дорівнює 2.
:
.
:
.
модуль градієнта заданої функції дорівнює 2.
Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків
, тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про
знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються
похідними другого порядку і позначаються так:
,
,
,
.
Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих
порядків, наприклад:
.
.
Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків
……….
.
.
,
.
. Виявляється, що ця рівність виконується в багатьох випадках, що
випливає з такої теореми.
.
Похідна неявної функції
.
обчислюємо за формулою
.
.
, звідки
.
.
, можуть бути обчислені за формулами
(5.5)
.
.
.
.
Тоді за формулами (5.5)
.
Формула Тейлора
для функції двох змінних
, не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді
або в розгорнутому вигляді
.
Це формула Тейлора для функції двох незалежних змінних.
Поняття визначника Якобі (якобіан)
Важливим формальним засобом дослідження є визначники, утворені з
частинних похідних.
змінних
,
,
…………….
,
що визначені в деякій n-вимірній області D і мають у цій області
неперервні похідні за всіма змінними. Складемо з цих похідних визначник
.
. Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної
похідної. Якобіан використовують при обчисленні кратних інтегралів, при
заміні змінної тощо.
Зауваження. Матрицю
називають матрицею Якобі.
Матриця Гессе. Гессіан
.
Означення. Матриця
або
називається матрицею Гессе.
дістанемо матрицю Гессе.
.
Поняття матриці Гессе відіграє велику роль для знаходження екстремумів
функції двох та більше змінних.
Визначник що відповідає матриці Гессе називається гессіаном.
Ротор, дивергенція
.
, дістанемо
—
так званий оператор Лапласа.
.
називається ротором і обчислюється за формулою
.
Економічний зміст
частинних похідних
Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести
поняття частинних еластичностей функції двох змінних.
подаються у вигляді:
,
.
залишається незмінною.
залишається без змін, і т. ін.
є
.
Знайти частинні показники еластичностей.
.
.
зростає приблизно на 0,05%.
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
