Реферат на тему:

Диференційовність функції двох змінних

Частинні та повний прирости функції двох змінних

також належатимуть розглядуваному околу (рис. 5.18).

Рис. 5.18

. Таким чином,

,

.

Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох
змінних.

Диференційовність функції двох змінних

можна подати у вигляді:

,

.

.

і вони дорівнюють відповідно А і В.

визначена в точ-

змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:

у точці).

.

.

дістанемо:

.

Дістанемо:

.

.

.

:

можна обчислити за формулою

.

обчислюється за формулою

.

.

.

.

.

, де

;

, отже,

.

.

Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та
існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми
маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова
диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою
диференційовності: наприклад, для функції

недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково
вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі
теореми.

.

Зауваження. Можна навести твердження про зв’язок між поняттями
неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці,
аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної.

, то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.

5.2.4. Диференціювання складної функції

, причому

.

.

.

.

.

Дотична площина та нормаль

, то виконується рівність

або

, дістанемо:

(5.3)

На формулі (5.3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для
наближених обчислень.

, дістанемо

.

має вигляд:

, (5.4)

.

і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння

.

Похідна за напрямом. Градієнт

, якщо вона існує, називається похідною

.

Рис. 5.19

за додатним напрямом осі Оу.

.

, причому

,

.

.

.

Тоді за формулою похідної за напрямом дістанемо:

.

у точці (1; 1) за напрямом бісектриси першого координатного кута.

у точці (1; 1):

;

.

Отже,

.

ue

0

2

X

Z

\

^

b

d

?

?

?

?

E

I

ue

th

, . 0 2 4 H \ n p – ? ? ? ? O ae ae

B

D

j

l

n

p

¬

®

°

?

A

A

I

?

oe

o

j

j

j

j

j

— одиничні орти):

подається у вигляді:

визначається так:

.

у точці (1; 2; –1).

( Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 2; –1):

,

.

.

дорівнює 2.

:

.

:

.

модуль градієнта заданої функції дорівнює 2.

Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

, тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про
знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються
похідними другого порядку і позначаються так:

,

,

,

.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих
порядків, наприклад:

.

.

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків

……….

.

.

,

.

. Виявляється, що ця рівність виконується в багатьох випадках, що
випливає з такої теореми.

.

Похідна неявної функції

.

обчислюємо за формулою

.

.

, звідки

.

.

, можуть бути обчислені за формулами

(5.5)

.

.

.

.

Тоді за формулами (5.5)

.

Формула Тейлора

для функції двох змінних

, не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді

або в розгорнутому вигляді

.

Це формула Тейлора для функції двох незалежних змінних.

Поняття визначника Якобі (якобіан)

Важливим формальним засобом дослідження є визначники, утворені з
частинних похідних.

змінних

,

,

…………….

,

що визначені в деякій n-вимірній області D і мають у цій області
неперервні похідні за всіма змінними. Складемо з цих похідних визначник

.

. Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної
похідної. Якобіан використовують при обчисленні кратних інтегралів, при
заміні змінної тощо.

Зауваження. Матрицю

називають матрицею Якобі.

Матриця Гессе. Гессіан

.

Означення. Матриця

або

називається матрицею Гессе.

дістанемо матрицю Гессе.

.

Поняття матриці Гессе відіграє велику роль для знаходження екстремумів
функції двох та більше змінних.

Визначник що відповідає матриці Гессе називається гессіаном.

Ротор, дивергенція

.

, дістанемо

так званий оператор Лапласа.

.

називається ротором і обчислюється за формулою

.

Економічний зміст

частинних похідних

Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести
поняття частинних еластичностей функції двох змінних.

подаються у вигляді:

,

.

залишається незмінною.

залишається без змін, і т. ін.

є

.

Знайти частинні показники еластичностей.

.

.

зростає приблизно на 0,05%.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи