Реферат на тему:

Диференціальні рівняння.

Задача Коші

ПЛАН

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними

змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння.

3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з
розділеними

змінними

Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються
диференціальними рівняннями.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у
яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних
порядків:

F(x,y,y(,y(,…)=0

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.

Приклади.

1. Диференціальне рівняння другого порядку y(+2y(-3y=x2+1 .

2. Диференціальне рівняння третього порядку y((=cos(x).

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в
разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.

Приклади.

1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y(=3×2 є
функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…

Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C —
довільна стала.

2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y(=sin(x) є сім’я
функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 — довільні сталі.
Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10,
y= — sin(x)+2x+1 тощо.

Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з
частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних),
наприклад:

u(x(x,y)+u(y(x,y)=2u(x,y)+x+y

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку
називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна
y((x):

F(x,y,y()=0
(8.1)

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

f1(x)((2(y)dx+f2(x)((1(y)dy=0
(8.2)

називається рівнянням з розділеними змінними.

Приклади.

.

, розділивши тим самим змінні:

Почленно інтегруємо:

,

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2)
та

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

;

;

;

;

.

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального
рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв’язати диференціальне рівняння y(=7x+y .

Розділяємо змінні:

;

.

Інтегруємо праву та ліву частини:

.

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних
значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні
значення), матимемо:

-7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція
(що залажить від сталої C)

7y+7x=C .

Розв’язати диференціальне рівняння

;

;

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у
вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала
arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

.

(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).

8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має
вигляд

y(=a(x)(y=0
(8.3)

Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:

;

;

;

;

— загальний розв’язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y(+a(x)(y=b(x)
(8.4)

Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді

.

Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння

.

Розв’язок однорідного рівняння y(+2xy=0 має вигляд

.

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

,

де C(x) функція від x .

,

і підставимо відшукані значення y та y( в початкове рівняння:

;

С((x)=2x ;

dC(x)=2xdx ;

C(x)=x2+C .

Отримуємо загальний розв’язок

.

Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy(-y=3×2.

є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від
сталої C)

.

.

Підставляючи y та y( в рівняння, маємо

.

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду

y( + py( + qy=0 ,
(8.5)

де p та q — сталі величини.

З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння

(2+p(+q=0

Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні
дійсні корені (1 та (2 , загальний розв’язок диференціального
рівняння такий:

,

де C1 та C2 — довільні сталі.

У випадку кратних дійсних коренів (1=(2=( характеристичного рівняння
загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(-15y=0.

Будуємо характеристичне рівняння (2+2(-15=0, звідки (1=3; (2=-5.

Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(+y=0.

Будуємо характеристичне рівняння (2+2(+1=0, звідки (1=(2=-1.

.

8.3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці

Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв’язку
диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у
знаходженні такої функції, яка

задовольняє рівнянню F(x,y,y()=0;

проходить через точку (x0;y0).

Приклад. Розв’язати задачу Коші

.

Знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння з розділеними
змінними:

;

arctgy=lnx+lnC ;

y=tg(ln(Cx)) .

На основі початкової умови y(1)=0 визначаємо конкретне значення
константи C:

0=tg(ln(C(1)) ;

C=1 .

Таким чином, розв’язком задачі Коші є функція y=tg(lnx).

Приклад. Розв’язати задачу Коші

.

Знаходимо загальний розв’язок:

(заміна y2=t ( 2ydy=dt ( ydy=dt/2);

lnx=(-1/2)ln(1+y2) + lnC;

;

;

x2((1+y2)=C.

Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:

12(1+22)=C, звідки C=5.

Розв’язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.

Ріст при постійному темпі приросту.

Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни
становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим
(зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від’ємним) і
дорівнює величині T.

, приходимо до такої задачі Коші:

Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв’язок:

;

lny=T(t+lnC ;

y=C(eT(t .

Оскільки при t=0 величина y(0)=P0 , то P0=CeT(0 =C і далі

y(t)=P0 eT(t (розв’язок задачі Коші).

Знайдена функція y(t)=P0(eT(t дозволяє прогнозувати кількість
населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту
T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість
населення становитиме P0( e-0,02(25 = P0( e-0,5 (0,607P0.

Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P0(eT(t описує динаміку росту цін при
постійному темпі інфляції.

Ріст при спадному темпі приросту.

Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на
момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y(t0)=y(0)=y0 одиниць товару.
Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу
t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).

В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого
товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару.
Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною
функцією: Ty = b-ay.

Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв’язати задачу
Коші:

.

Розв’язуємо дифренціальне рівняння

;

розкладено на суму

) ;

;

;

;

(отримано загальний розв’язок) .

. Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4.
Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t.
Відщукання конкретних параметрів (, ( та ( — завдання дисципліни
“Економетрія”.

y

b/a

y0=Cb/(1+Ca)

x

Рис. 8.1.

Попит при постійній еластичності.

Нехай Q — розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай
Q(p0)=Q0 . Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому
інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю
розв’язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за
допомогою похідної: EQp=Q(((p/Q) ):

;

;

;

Q=C(pE .

З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту

.

Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до
зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція

, тобто обернена функція.

Корисність при постійній схильності до ризику.

, де U(x) — функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію
корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику
r(x)=r (як звичайно, r<0). за умов U(0)=0, U((0)=k. Маємо задачу Коші , тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U(-rU(=0. Будуємо характеристичне рівняння (2-r(=0, коренями якого є числа (1 = 0 та (2 = r. Отримуємо загальний розв’язок: U(x)=C1e0(x+C2er(x =C1+C2 er(x . Враховуючи першу початкову умову U(0)=0, маємо C1= -C2, отже U(x)=C-C erx . Друга початкова умова U((0)=k дає - C(r(er(0 =k, звідки C=(-k)/r . Зокрема, при r = -0,2 та k=1 = 5-5e-0,2x . U(x) 5 x Рис. 8.2. Отже, у разі сталої схильності до ризику r = -0,2 (незалежно від кількості багатства x) функція корисності клієнта має вигляд U(x)=5-5e-0,2x (рис. 8.2).

Похожие записи